Pour généraliser cette dernière espèce de restric

tion, supposons que la surface cherchée doive se terminer quelque part, par exemple vers la limite inférieure de y, dans une surface donnée z=—f{x, y), ou dz=p'dx+g'dy, et qu'en outre l’intersection des deux surfaces doive se projeter sur le plan xy suivant une droite donnée de direction. Soit a la tangente de l’angle compris entre cetie direction et l’axe des x; on aura à la fois les deux conditions

F4: 7 z (= HE PAUSE | àz f(æ, 7)= 0, Rire 4

On tirera de la première

JU | 1d2+(g9—g'hèmi=0,

et de la seconde

dd EEE OÙ, 0 Yi =, dx

k étant une constante arbitraire, ce qui réduit à

Œ NT —k [ | EV—P(p—p')—Q(q—a)|dx

les deux termes de DS affectés de la substitution y = 71, lesquels alors ne donneront plus queda seule équation

(11) S'ÉV—P(p—p'}—Q(q— q')}dx —0, nn étant prise le long de la projection rectiligne dont ile agit. À la différentielle de l’abscisse x on peut

Fan

substituer “ Ile de l ordonnéà you. celle de la longueur l

but in re

a étant une quantité constante; léquation (11) prend

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. 141 ainsi la forme plus symétrique (12) SIV—P(p—p')—Q(g —q')}&—0.

L'équation (10) n’est qu'un eas particulier de celle-ci ; car en supposant la projection rectiligne perpendiculaire à l’axe des x, on a dx — 0, dy — dl, et dz — qdy — q'dy, ou g — g'— 0. Le résultat définitif de cetie discussion peut donc s'énoncer dans les termes suivants :

Si la surface cherchée est seulement assujettie à se terminer. dans une surface donnée, z —=f{x, y), ou dz = p'dx + q'dy, l'équation (8)

MÉRCtP Ep he Q"a qi doit avoir lieu pour tous les points de la projection sur le plan xy de l'intersection commune des deux surfaces; mais s’il faut en outre que cette projection soit une ligne droite de direction donnée, il suffit que l’on ait (12) JIV—P(p—p)—Q(g— qd —o, l'intégrale étant prise le long de la projection dont il s’agit.

Les restrictions admises dans la troisième hypothèse ne sont évidemment que des cas particuliers de l'hypothèse plus générale que nous venons de discuter. Ajoutons que dans ces deux hypothèses le nombre des équations de condition sera plus grand que celui des fonctions à déterminer, Chaque fois que le contour limite se composera de plus de deux parties ou arcs de courbe distincts; on sera donc le plus souvent forcé d'admettre que ces arcs se réduisent à deux, c'est-à-dire que les fonctions SACRÉ deviennent égales pour à 10 extréme Ne