UNS

dx dy TA dxdy 5 dy° k

qui doit subsister pour butés les valeurs de x, y) comprises entre les limites de l'intégrale double. C’est une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre; et l'équation primitive, lorsqu'elle existe, ou la relation finie entre x, y, z qui y satisfait de la manière la plus

générale, renferme au plus quatre fonctions arbitraires, dont on peut disposer en général pour satisfaire à quatre équations aux limites.

dd z :

Les termes en 0z et Tr SOUS les signes /] donnent #0

La

dR dR M Pasta 2 PE or ! "us 7" LEP (2) TE 2 + (25 P)y+ de

équations qui doivent avoir lieu pour chacune des courbes limites y — y1,:7 = y2, les dérivées y’, y”, étant relatives à ces courbes.

IN

ddz > Tr SOUS les signes /f donnent de ax

Les termes en 0z et A Lé ® même les deux équations

dR dS.

pe (3) dx ETES | R=—o,

qui doivent être vérifiées le long des deux droites x = x,, TX = Lo.

Le terme en dz sous les signes [] fournit l'équation

(4) S—Ry'—o,

qui n'a besoin d’être vérifiée qu’en chacun des quatre points À, B, C, D (/ig. 1, p. 76), où les deux courbes rencontrent les deux droites, la dérivée y’ étant en chaque point relative à la courbe qui y aboutit.

Enfin les termes renfermant les variations dy, dy», dx, 0% qui sont indépendantes les deux premières de y, les deux dernières de x, y, donnent naissance aux équaiions

ga #4 | J Var 2=:0,

dont la première se rapporte aux deux courbes y — y;, Y—= Y2; etla seconde aux deu droites x —x,, x —7;, l'intégrale f Vdy devant être prise le long de l’une où de l’autre de ces droites.

Comme chacune des équations (2), (3), (5) doit avoir lieu pour deux courbes ou pour deux droites différentes, tandis que l'équation (4) doit subsister pour quatre points distincts, le nombre total des équations aux limites est seize.

70. Lorsque les limites sont fixes, les équations (5) cessent d’avoir lieu et il ne reste plus que douze équations aux limites. Ce nombre étant toujours supérieur à celui des fonctions arbitraires, il n’est pas possible en général de les vérifier toutes à la fois. Dans le cas, cependant, où les côtés rectilignes disparaissent, c’est-à-dire où le contour limite se réduit à deux courbes, les équations (3) et (4) s’en vont et il ne reste plus que le système (2), qui se résout, comme on l’a vu, en quatre conditions distinctes, nécessaires et suflisantes pour déterminer les fonctions arbitraires. Dans ce cas, on a donc lieu de penser que le problème du maximum ou du minimum admet une solution.

11. La première des équations (2) est peu symétrique à cause de la dérivée seconde y” qu’elle renferme; mais en éliminant cette dérivée on rétablira la symétrie et l’on prouvera en mème temps que les équations (2) comprennent comme cas particulier les deux équations (3). En effet, si l’on différentie la seconde équation (2)

Ry?— Sy +T—o,

en y regardant y comme une fonction de x, ainsi que cela doit être, puisque cette équation se rapporte à l’une des

courbes limites y = 7, où y =, on aura

dR /dR 7 (2R7'— S) y" + DANCE a —$). y"? |

dx dy PA as) ‘en Fons dy dx dx ]

Entre cetie CARRE et la première des équations (2) on peut éliminer y”; le résultat ne renfermera plus que y'avec ses puissances seconde et troisième, et on le rendra linéaire en y” en faisant servir de nouveau l’équation

Ry?—$Sy +T—o

à l'élimination successive de y* et y”. Quandton aura effectué ce calcul, qui ne présente d’autre difiiculté que sa longueur, et qu’on aura multiplié par une puissance convenable de dx, on verra le système (2) prendre la forme symétrique

ÎS ri 1 d TR DE s( D — Rs Brie e)]e r) CAL 3 dx

el DIR

dx dy dy AIO (6) dR ( dS dR (S: dT :

P——=— R|— +3 — — 111 dy LE \ dy Prdz x) da dy N a |

Rdy°—$ dx dy + Tdx' = 0,

Telles sont les conditions à remplir par la fonction z le long des deux courbes ÿ = ÿ1, y —y>, ou mieux le long de chacune des courbes limites, quel que soit leur nombre. On peut même, pour généraliser, les étendre aux côtés rectilignes x'= 2, x = x, lorsqu'ils existent. En effet, la valeur nulle de la différentielle dx qui caractérise ces deux côtés, réduit les équations (6), la seconde à

Ron IV. 1O

ds ne dR ] dR 3 dR | ‘e qui entraine dx + — dy = 0, ou — = 0:la pre # a ë, dx ne dy ) | dy | l mièré, par conséquent, à di dS

et les ramène ainsi aux conditions (3) déjà établies pour les côtés rectilignes dontil s’agit. On tiendra donc compte à la fois des équations (2) et (3) en étendant les conditions (6) à tous les poinis du contour limite.

Pour les quatre points d’intersection des courbesy=71, VE yaavec les droites X'='r;, 11 Six, ul faute; orne aux équations (2) et (3), ou aux équations (6), la condition (4), laquelle, à cause de R — o, se réduit simplement à

72. Nous signalerons, en passant, un cas dans lequel les équations aux limites se simplifient considérablement; c’est lorsque, en raison de {a forme parüeculière de la fonction V, l’expression