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est identiquement nulle. Dans ce cas, en effet, la seconde des équations (6) donne

(7) DRE CAE

et Fa première devient identique. I! suffit. donc alors, pour que les conditions aux limites soient satisfaites, que léquation (5) subsiste le long du contour limite entier, et qu'on ait d'ailleurs $ — o aux quatre points A, B, €, D. Nous nous bornons à indiquer ce résultat

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. 147 en laissant au lecteur le soïn de Île vérifier Jui-mème. Au lieu de supposer fixes les limites de l'intégrale, on pourrait établir différentes relations entre les valeurs limites de x, y, z, p, q; en suivant la même marche que dans Île cas précédent, il serait toujours facile de trouver les modifications subies dans chaque hypothèse par les équations aux limites. Mais pour les applications que nous avons en vue, une pareille discussion aurait peu d'utilité et nous l’omettons sans regret.

13. Nous ne pouvons, au contraire, passer sous silence un des points les plus délicats, les plus difficiles que l’on reucontre dans la recherche des maxima et minima des intégrales doubles, et qui rend cette recherche beaucoup moins satisfaisante que celle des maxima et minima des intégrales simples. La dificulté à laquelle nous faisons allusion, vient de l’ignorance où l’on est du degré de généralité que comporte la fonction qui doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles d’un ordre supérieur au premier. D'abord on ne sait pas à priori si une pareille équation admet ou non une équation primitive en termes finis qui ait la même généralité qu'elle; et alors même que lexistence de cette équation équivalente est certaine, on ne sait pas combien de fonctions arbitraires elle doit renfermer : tout ce que l’on peut affirmer en général, c’est que le nombre des fonctions arbitraires contenues dans l'équation primitive, lorsqu'elle existe, est au plus égal à celui qui marque l’ordre de l’équation proposée aux dérivées partielles. Àjoutons que, quand même on connaîtrait le nombre des fonctions arbitraires renfermées dans l’intégrale la plus générale, on ne saurait pas encore au juste par combien de conditions particulières, ou par combien d'équations aux limites elles pourraient être déterminées,