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148 CALEUL DES VARIATIONS, Malgré cette imperfection de la théorie actuelle des équations aux dérivées partielles, lanalogie et l’examen

de cas particuliers nous porte à inférer, comme nous

l'avons déjà admis sans preuve, dans ce qui précède, qu’on peut en général assujettir une fonction z de deux variables x; y, donnée par une équation aux dérivées partielles de l'ordre 2, à remplir 7 conditions particulières, ou à vérifier n équations exprimant chacune explicitement ou implicitement ce que doit devenir la fonction z pour une relation particulière établie entre les variables x, y; c’est-

à-dire, géométriquement parlant, qu’on peut assujettir

une surface dont on connaît seulement l'équation aux dérivées partielles de l’ordre n,à passer par » courbes disunctes, et qu’elle sera alors entièrement déterminée.

On sait, en eflet, qu ’étant donnée une équation entre x, Y, Z et ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre n inclusivement, on peut fixer arbitrairement Îles valeurs que dévront prendre pour æ = 0, ou, en général, pour une relation déterminée f (æ, y) = 0 entre les variables x, y, la fonction z et une de ses dérivées partielles de chaque ordre

jusqu’à celles de l’ordre n — 1, les valeurs, par exemple,

desidtz d'or

ne MAR ra? CL QU de ces valeurs, Joïntes à l'équation proposée, on peut déduire les valeurs correspondantes de ioutes les autres dérivées. Par cela même tous les éléments constitutifs de Ja foncuüion z%*c’està-dire tous les coeficients dont dépendrait son développementen série, supposée convergente, sont complétement déierminés pour la relation particulière

de z,

ou le long de la courbe que cette équation représente, de telle sorte que l’on puisse construire par points, ou de proche en proche, la surface à laquelle appartient Por-

donnée z. De ce théorème connu il résulte immédiatement : 1° qu'une surface dont l'équation aux dérivées partielles est du premier ordre, est complétementixée lorsqu'on l’assujettit à passer par une courbe donnée; 2° qu'une surface dont l’équation aux dérivées partielles est du second ordre, peut être construite lorsque, en outre de la courbe qu’elle doit contenir, on donne la position du plan tangentle long de cetie courbe, ou, en d’autres termes, lorsqu'elle est assujettie à contenir deux courbes infiniment voisines l’une de l’autre ; 3° que la surface qui doit satisfaire à une équation aux dérivées. partielles du troisième ordre, est déterminée, quand, avec la courbe et le plan tangent, on donne la courbure dela section normale à la courbe, c’est-à-dire quand on l’assujettit à passer par trois courbes infiniment voisines, et ainsi de suite.

La proposition que nous avons avancée est donc vraie, lorsque les z courbes données sont infiniment voisines les unes des autres, et tout porte à croire qu’elle sera encoré"vraie, lorsque les 7 courbes seront situées d’une manière quelconque dans l’espace. ?

74, V. On cherche le maximum ou le minimum d'une

Lt 3 Z, ’ | f Vd:dydx, 2 [#4 e/ Z,

V=f{x, PLU

intégrale triple

dans laquel le

u étant une Jonctioiiconnue de trois variables indépendantes x, y, z, et p, gr ses dérivéés partielles du pretnier ordre.

Nous avons déjà donné, p. 86, la Variation de cette intégrale. Cherchons actuellement les équations indéfinies et aux limites qu'entraine la condition générale de maxi-

150 CALCUL DES VARIATIONS. é mum ou de minimum, la variation égalée à zéro, lorsque les limites ne sont assujetties à aucune restricüon.

Le premier terme de la variation fournit l'équation in-

définie