TR
qui doit subsister pour toutes les valeurs de x, y, z comprises entre les limites de l'intégrale, ou pour tous les points de l’espace compris entre les six surfaces À,, À, B;, B:, C;, GC (n° 43) qui limitent le champ de l’intégrale triple.
Les termes en Ju affectés de substitutions donnent le premier système d'équations aux limites
R p dz cl 3180 — P — — NO MT dy | 2) dy Ÿ Q — P ER 0; DE 107
la première aura lieu pour les deux surfaces courbes C;, C2, la seconde pour les deux cylindres B,, B,, et la troisième pour les deux plans AÀ,, A,. Les dérivées'par-
uelles Me dans la première équation sont celles de ax y
l’ordonnée z, ou z, de la surface courbe C, ou €, que î A LEE, ; à l’on considère ; la dérivée dans la seconde est relauve à l’un ou à l’autre des cylindres B,, B..
Un second système d'équations aux limites No.
{ 5) | Vie RAGE
PT Vdedy Es (EX
est fourni par les termes affectés des variations dz,, 02, D Y1s D Vas D Lis 9 X2, dont les deux premières sont indépendantes de z, les deux suivantes de y, z, les deux dernières de toutes les variables principales x, y, z. La première de ces nouvelles équations (3) aura lieu pour tous les points des deux faces courbes z = z,, z — z,; la seconde pour toutes les génératrices des deux faces cylindriques Y = Yi, Y = .Y2, l'intégrale f Vdz devant être prise le long d’une quelconque de ces génératrices ; la troisième équation, enfin, devra être vérifiée pour chacune des deux faces planes xx, x = x2, l'intégrale ff Vdy dx s’étendant à l'aire entière de l’une ou de l’autre de ces dernières faces. |
La solution du problème du maximum ou du minimum absolu dépendrait ainsi d’une équation indéfinie et de douze équations aux limites; mais comme ce problème, par sa nature même, est impossible, nous passons à l’examen des modifications que doivent subir les équations obtenues, en raison de certaines restrictions apportées aux limites de l'intégrale.
75. 1° Les limites Lis Las Vis Vas Z15 Z29 de l'intégrale sont fixes. — Le système (3) disparaît et les équations aux limites se réduisent au système (2). Pour les ramener à leur plus simple énoncé, considérons un point x, y, z de la surface limite C, ou C:, et désignons par x, G, y les angles compris entre la normale à la surface et les axes des coordonnées. Si, dans la première équation (2), on remplace les coefficients #, 7. — 1, par Cosæ, cosf, cos y, qui leur sont proportionnels, elle prendra la forme
symétrique (4) P cos x + Q cos B + R cosy — 0;
sous cette forme elle exprimera que la droite menée par le e
point x, y, z et faisant avec les axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels à P, Q, R, doit être tangente à la surfacelimite. L’équation (4) ne remplace pas seulement»la premire des équations (2), elle comprend les deux autres comme Cas particuliers; en effet, si l’on suppose : 1° côs y — 0, ce qui caractérise les deux cylindres B;, B,, elle devient P cos & + Q cos 6 — 0, ou parce que
dy: A cos & dx + cos f dy —0o, Q—P — 0, et elle coïncide,
par conséquent, avec la seconde équation (2); 2° si l'on suppose à la fois cos 5—0o, cos y —0, ce quia lieu pour les deux plans À,, À, elle se réduit à P — o ou à la troisième équation (2). Les diverses conditions relatives aux limites sont donc exprimées à la fois par la seule équation (4) étendue aux six surfaces À,, A2, B:, B,, CG, C2 ou, plus généralement, à toutes les faces limites, quel que soit leur nombre.
Si l’on fixe, en outre des faces limites, la valeur que w doit prendre sur chacune d'elles, toutes les équations aux limites (2), (3) disparaîtront et seront remplacées par les équations qui assignent à u des valeurs déterminées.
16. 2° On donne seulementles valeurs que u doit prendre sur les surfaces limiles, ces surfaces pouvant ellesmêmes se déformer d’une manière quelconque. — Soit f(x, y, 2) la fonction donnée avec laquelle doit coïncider sur une des surfaces limites, sur celle, parexemple, A COrrespond à la limite ner de z, et désignons pal P 5:59"
À Re À MORE A à
r! les dérivées parüelles — :
1 Hr° dy” dz
#1 | lu—[(x,7,:) = 0
de eette fonction
condition
MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES TRIPLES. 199 entraine
| (9 a +(r—7) ao,
et permet d'éliminer d'u de la somme
cu ue Ms ou), lors Ji l 1 (ri as Se) Ant
AR
Re”,
des termes qui, dans la variation de l'intégrale, sont aflectés de la substitution z = z,; ces termes alors fournissent une seule équation
dz | V — (RP de
qui doit être vérifiée sur la surface limite que l’on considère, les dérivées paruelles a étant relatives à cette même surface. Ces dérivées sont d’ailleurs faciles à déterminer; car, en différentiant tour à tour par rapport à æ et à y l'équation u — f(x, y, z), qui est supposée avoir lieu pour la surface limite dont il s'agit, on obtient
my
RAR. RE a dx dz : z PDU NE + 7 api el par suite A UN pp de NE A 8 à TS A SEA A TT Per?
substituant, 1l vient (5) Na Es (2 ES p') nn QUE NS R(r—7r') =o.
Telle est donc l'équation relative à la himite z,, Une équae E- gun QE.
tion toute pareille aurait lieu pour la seconde limite z
si pour cette limite la fonction & était assujettie à une
restriction semblable. | Supposons à présent que « doive devenir égale à
F(x, y, 2), non plus sur une des surfaces courbes z = z,,
3 = Z,, Mais sur la surface cylindrique y = y1, de sorte
que l’on ait
el, par suite,
on pourra éliminer d u des termes
mL, 1% Zs l ; € SA | vs y, + ([Q—P 2 ju! dzdx va ; | ; ;: dx \
de la variation de l'intégrale qui sont affectés de la substitution y —7y;. Ces termes alors donneront une seule
équation aux limites
à ’ LU r «+ » d ; 0 . “ f .
Pour déterminer la dérivée qui est relative à l'in-
tersection du cylindre B, avec le plan xy, il sulit de comparer les différentielles totales de u et de f(x, y, z) pour cette même intersection, On trouve ainsi
dy et pdx —- qdy por —+- q'dy;, ent ES) 9 —=q valeur qui ramène Péquation aux limites à la forme
(6) | JV P (p—p')—Q(4a—g')}di=o,
## l'intégrale dans le premier membre étant prise le long
d’une génératrice quelconque du cylindre B,. La condition de coïncidence de u avec la fonction f(x, y, z) sur la se-
conde surface cylindrique y = y: conduirait à une équation toute semblable à Péquation (6).
Enfin, si cette coïncidence devait avoir lieu sur une des faces planes, sur celle par exemple qui correspond à la limite inférieure de x, de sorte qu’on eût
| la f(x, 7, 2)}=0
et, par conséquent,
| Lou+(p—p)dx) = 0,
on éliminerait du des termes
x, Le Z 3 u. LÉ À (VI x, + Pdu) dzdy Æ a
aflectés de la substitution x = x; et, après avoir fait sortir des signes / ff la variation dx, qui est indépendante de toutes les variables principales, on égalerait son coeflicient à zéro, ce qui donnerait
(7) JS IV P(p—p'}} ddr = 0,
l'intégrale double s'étendant à la face plane entière A..
La coïncidence sur la surface plane correspondante à x, fournirait une équation toute semblable.
77. La restriction que « doit coïncider, aux limites de l’intégrale, avec une fonction donnée f(x, y z), entraine, comme on vient de le voir, des équations de forme différente (5), (6), (7)pour les trois couples. de surfaces C;, Cas; Bis Br, A, APE rakon eh.est que les quatre dernières se irouvent effectivement dans des conditions plus resireintés que fes deux premières, puisque Îles
surfaces B, et B; sont assujetlies à être cylindriques et perpendiculaires au plan xy, et que Îles surfaces A,, A, doivent être planes à la fois et normales à l’axe des x. Pour généraliser ce genre de conditions particulières, admetions qu’une surface limite quelconque, celle, par exemple, qui correspond à la limite inférieure de z, doive être un cylindre dont la génératrice fasse avec les axes des coordonnées des angles déterminés ayant pour cosinus a, b, e, et que l’on exige, en outre, que w coïncide avec la fonction connue f(x, y, z) pour tous les points de ce cylindre; on aura à la fois
ge da, da, iu— f(x y,z)) oo, a — + b— —=c, ”
Lx dy et, en prenant les variations, Fi do z dd z | fou+(r—r)z) = 0, Re sË ne
Intégrée, la seconde équation aux dérivées partielles du premier ordre donne d2,— v (ay br},
o étant une forme de fonction arbitraire. On pourra donc éliminer à la fois du et 0 z, des termes affectés de la subsutution z — z,. Si l’on fait, pour abréger,
W=V—P(p—}p) —Q(qg— qg')—R(r-#), à
ces termes deviendront MP | se
tion Paie 93; mais Comme À renferme les deux variables x, y dans la combinaison particulière ay — bx,
nous somme “obligé , pour obtenir l'équation de condition définitive, de ramener 4 à ne plus porter que sur une seule variable. Dans ce but, faisons tourner le système des coordonnées autour de l’axe des z jusqu’à ce’ que l'axe des x devienne perpendiculaire à la génératrice du cylindre limite que lon considère, et appelons £, n, z les coordonnées du nouveau système, liées aux anciennes par les équations
£ ay — bx ax + by CRU er PES ee à v
Vi — c° Vic! F ® (ay — bx) devenue fonction arbitraire de la seule variable £ sortira du signe d'intégration relatif à n, et son coefficient égalé à zéro fournira lPéquation
JWén—= o. ès De Or, la générairice du cylindre si se projetant sur le plan xy suivant la nouvelle ordonnée », dn sera dans un rapport constant avec la différentielle al de la génératrice; on
pourra donc remplacer dn par db et écrire
[Wal = O1. dr
l'intégrale JS Wdl étant prise le long d' une génératrice quelconque du eylindre limite; telle « ic. |’ équation
de condition cherchée. 18 |
ls :
et se réduirait, par
158 CALCUL DES VARIATIONSA
Supposons, en outre, que la restriction u = f(x, y, z) e A ]
düt subsister pour cette mème su rface, ou qu'on eût
| Lu —?(s e, Ya NEO; el, par suite,
# | du +(r=r)èai= O.
Les termes de la variation de l'intégrale aflectés de la substitution z — z, deviendraient, par l'élimination de du et
de Ÿ z,, AX, PTefZ ne. J J | Wardz
et conduiraient à l'équation FANadydr 0,
dans laquelle l'intégrale double devrait s'étendre à la projection entière du plan limite sur le plan xy. D'ailleurs, comme la différentielle ZA du plan limite est dans un rapport constant avec la différentielle dxdy de sa projection sur le plan xy, l'équation précédente peut s’écrire plus simplement JWdA RO
l'intégrale / WA devant s'étendre au plan limite entier que l’on considère.
… 78. Résumons en peu de mots les résultats auxquels nous sommes arrivés. Étant donnée, avec ses dérivées parüelles p°, g', r’, une fonction f (x, y, z) avec laquelle la fonction cherchée « doit se confondre sur une des surfaces
* limites, sans que cette surface limite soit d’ailleurs assu- jettie à aucune restriction, on doit avoir pour chaque
point de la surface | (RME PER ON 7 TER (r— 7) = 0,
Mais si l’on demande, en outre, que la surface limite soit un cylindre engendré par une droite de direction donnée, l'équation de condition se changera en
