HUITIÈME LECON

Méthode de Jacobi pour distinguer les maxima et Îles minima des intégrales simples. — Application de cette méthode àx quelques cas HS: ak el particuliers.

Li)

80. Lorsque les fonctions inconnues dont dépend une intégrale où une éxpression. définie S ont été déterminées de manière à rendre nulle la variation première 98, et qu'on les fait varier très-peu avec un paramètre x, e est-àdire en donuant ace paramètre un accroissement trèspetit, l'expression $ subit elle-même un changement, dont le sens dépend uniquement du signe que prend la variation seconde d?S : lorsque cette variation seconde est positive, la valeur de S augmente; lorsqu'elle est négative, la valeur de S diminue. Il en résulte que l’expression S, dans laquelle on aura déterminé les fonctions inconnues, comme nous venons de le dire, sera un maximum si la variation seconde d?S reste toujours négative, un minimum si elle reste toujours positive, quelques déformations qu’on fasse subir aux fonctions dont il s’ait. Mais si la variation seconde 0?S peut changer de signe, si elle est positive pour certaines déformations et négative pour d’autres, l'expression S pouvant tantôt diminuer, tantôt croître, ne sera ni un maximum ni un minimum.

Ainsi, pour distinguer analytiquement le maximum du minimum, on aura à discuter la variation seconde à, Mais cette discussion, facile en prinoine, est dans la pratique hérissée de grandes difficultés, qu'on n'a \pu vaincre jusqu'ici que dans les cas les plus Lara En effet, tout

cé qu on a pu obtenir dans cette voie est à peu près compris dans la méthode donnée par Jacobi pour distinguer les maxima et les minima des intégrales simples : c’est cette méthode que nous allons exposer d’une manière aussi élémentaire que le comporte le sujet, en mettant à profit les commentaires dont elle a été l’objet de la part d’autres géomètres.