Considérons l'intégrale simple

vo PE ra | Vudx, e L

dans laquelle V est une fonction donnée de x, y, y’, y',..., 77. La recherche du maximum ou du minimum de cette intégrale se partage en deux parties : dans la première on peut supposer les valeurs limites de x, y, y", 7”...., 7% fixes, mais quelconques, et chercher la relation entre y et x qui rende l'intégrale maximum ou minimum, relation qui renfermera en général 2 n constantes arbitraires ; dans la seconde on fait varier les valeurs limites dex, y,y',y”,...,7"") autant que le permettent les conditions du problème, et l’on cherche les valeurs des 2n constantes arbitraires pour lesquelles l'intégrale soit plus grande ou plus petite que pour toutes les autres valeurs, très-peu différentes de celles-là, qu’on pourrait

. donner à ces mêmes constantes. Cette seconde partie de

la question rentrant entièrement dans la recherche propre au calcul différentiel des maxima et des minima des foncs uons de plusieurs variables indépendantes, nous n’avons pas à nous en occuper ici ; il nous suffira, en conséquence, de chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale S dans l’hypothèse où les valeurs de x, y, 7’,..., y(%-1) relatives aux deux limites restent invariables.

Dans cette hypothèse, si l’on appelle P, P,, P,,...,P,