IV. il

les dérivées partielles de V relatives à y, #’,7",...,700), et qu'on fasse, pour abréger,

(P)=—P Fr je SAONE 7 AO 4 d'Pr

dx dx? MN 620

la variation de l'intégrale du premier ordre sera

= [| PO .ce,

et celle du second ordre

Jp Lx P)07 + (P)9r| ar.

La première condition du maximum ou du minimum, 28 —0, conduit à une équation différentielle de l’ordre 27

à laquelle on satisfera de la manière la plus générale par une certaine relation

(2) EAN Œis Aus s Lo CR

entre y, x et 27 constantes arbitrairés. Puisque (P) est nul, la variation seconde se réduit à ”

(3) »s= f "2(r P)0y.dx,

et il s’agit d'examiner si elle peut, où non, changer de signe.

82. L'existence du maximum ou du minimum exigeant que la variation seconde de l'intégrale ne puisse changer de signe, et, par conséquent, qu'elle ne puisse être nulle en même temps que la variation première, on voit d’abord qu'il n’y aurait ni maximun ni minimum si, dans

be] "ous

les conditions du problè mé, dy pouvait recevoir une valeur autre que zéro, qui rendit D (P) nul identiquement, ou pour toutes les valeurs‘de x. Or pour faire varier y sans que (P)v varie, c'est-à-dire sans que l’équation (P) —o cesse d’avoir lieu, il n’est qu’un seul moyen : c’est d’altérer lés constantes di, @s,..., contenues dans l’intégrale de l’équation différentielle (P) — 0. Cela est évident ; car puisque cette intégrale est la valeur la plus générale de y qui vérifie l'équation (P) — o, aucune autre valeur de y ne pourrail,y satisfaire.que pour des valeurs particulières de x. Aïnsi la seule forme de dy qui puisse rendre d(P) constamment nul, est

df df

D pe 2h à Pr EL AE SAR À, 3 RUES PRESS ) An

? da; | EP NO das MNT ou bien

df df äf

4 APRES te MOSS EE ARE er CORNE EEE (4) Y ‘da, PURES. F7: Fi da.

en désignant par &, @:,..., a, les variations d'a,

da, . . . das, qui sont de nouvelles constantes arbitraires. Telle est donc l'intégrale ou la solution la plus générale de l'équation diflérentielle 9 (P) — o. Elle renferme 27 constantes arbitraires, ainsi que cela doit être; car il est facile de voir que le développement de d (P) renferme d'y avecses dérivées successives jusqu’à l’ordre 2 7 inclusivement.

L'existence du maximum ou du minimum exige donc avant tout que dy ne puisse pas avoir la forme (4). Or comme nous supposons fixes les valeurs limites de x, y,

#74 ,...,.7079), sans que la déformation de y soit assujetiie ‘a d M restrictions, dy pt être une fonction quelconque de x, POSE qu'elle s’évanouisse, avec ses dérivées successives jusqu’à l’ordre 7—1, aux deux limites de l’intégrale. On en conclura que, si les constantes 4,

a»,... dans la formule (4) peuvent être déterminées de manière à vérifier les conditions dùoy do : a Lo y

dy 40 De Ce O, de? HO =,0;

AS à

aux deux limites de l'intégrale, la solution (2) ne donnera ni maximum ni Minimum.

83. La restriction imposée à dy, afin que la variation seconde d5S ne s’évanouisse pas, est susceptible d’une interprétation géométrique très-remarquable. Si l’on regarde x ety comme les coordonnées rectilignes d’un point, l'équation y = f(x, &,a,...,a:,) représente. une courbe plane qui se déforme d'une manière continue, quand on fait varier les constantes a,, a,...., avec un paramètre commun x. Donnons à ce paramètre un accroissement : et désignons, comme nous l'avons fait, par dy, dy,..., les dérivées successives de y relatives à x, nous aurons une nouvelle courbe du même genre que la première, mais dans laquelle à l’abscisse x correspondra l’ordonnée

CHAT = YF +107 + dy +...

M) Pour que cette courbe passe par un point donné À de la première courbe, il faut qu'en ce point on ait Ay — 0, ou, en divisant par t,

NÙ vy ” DPI EEE 0 TA 0:

Pareillement la dérivée y’ sera la même pour les deux courbes, ou les deux courbes auront un contact du premier ordre au point dont il s’agit, si l’on a en ontre en ce point

-0y! Re : Le 0

dy" — ENT

Le contact des deux courbes sera du second ordre, si la nouvelle condition

Sy" + d2y" +... —0

est remplie avec les deux précédentes, et ainsi de suite. Or, lorsque : tend vers zéro, la seconde courbe s’approche indéfiniment de la première ; pour : — 0 les deux courbes coïncident et les équations précédentes deviennent

dd y M. ? dy" — FPE —

; dy = O, d'ILETA dr — O0,..

Donc, si la variation dy et ses 7 — 1 dérivées successives s’évanouissent en même temps au point À, ce point sera la limite de l'intersection de la courbe donnée et d’une autre courbe du même genre ayant avec la première un contact de l’ordre 7 — 1, et tendant indéfiniment à se confondre avec elle.

Ces considérations permettent de formuler de la manière suivante le résultat obtenu n° 82 : Ayant trouvé une courbe AB qui satisfait à la condition dS — o, pour reconnaitre si elle correspond réellement à un maximum où minimum de l’intégrale S, on fera varier les constantes contenues dans son équation, et l’on cherchera s’il est possible de déterminer par ce moyen une courbe de même nature passant par deux points donnés de la première courbe et ayantavec elle en ces points un contact de l’ordre ñn—1; ensuite on rendra ces points mobiles sur la première courbe et on les fera approcher simultanément des points extrèmes À, B correspondants aux limites de l'intégrale ; cela posé, sil arrive qu’en même temps la seconde courbe s'approche indéfiniment de la première, de sorte que les deux courbes coïncident lorsque leurs points communs sont en À et B, la solution qu'on examine ne

dénuiefa di un maximun ni un minimum de l'intégrale proposée. Il en sera de même, évidemment, si le contact de l’ordre 7 — 1 des deux courbes infiniment voisines peut ayoir lieu en deux points C, D, situés entre A et B sur la première courbe, puisque l’intégrale, n’ayant ni maximum ni minimum entre C et D, ne saurait en avoir dans toute son étendue.

Au lieu de faire varier les deux points de contact, on peut évidemment fixer le premier point en À et faire mouvoir le second sur la courbe donnée, jusqu’à ce que la seconde courbe coïncide avec elle; on trouvera ainsi la limite jusqu'à laquelle ou au delà de laquelle l'intégration ne doit pas s'étendre, pour que le maximum ou le minimum ne cesse pas d’avoir lieu.

84. D'aprés cela, la première chose à examiner est si la forme (4) de la variation on, est compatible ou non avec les conditions admises, c’est-à- dire si dans l'équaton k we :

df df df Lape

au, * da, s ds

Vi qe & | At Mé à

on peut trouver pour les constantes &;, æ,... des valeurs différentes de zéro, au moins pour quelques-unes d’entre elles, et telles que dy avec ioutes ses dérivées successives jusqu’à l’ordre 7 —1 s'évanouisse aux deux limites de l'intégrale, ou seulement pour deux valeurs distinetes de œ comprises entre ces limites, Si cela est possible, la discussion est terminée et l'on n’a pas besoin d’aller plus loin, car on sait qu’alors il n’y & ni maximum ni minimum; mais si l'on parvient à reconnaitre, au contraire. que dy ne peut pas avoir la forme ci-dessus , il faudra examiner le signe de la Variation seconde 9S pour d’autres formes adnussibles de 9y. Pour cela, on sera obligé de faire subir à la variation seconde 9°S diverses

tranformations ayant pour but d'introduire sous le signe intégral un carré parfait multiplié par un facteur connu. Ces transformations reposent sur certaines propriétés d'une classe particulière d'équations différenuelles linéaires, propriétés que nous ferons connaître dans les numéros suivants. |

85. Soit y une fonction homogène entière et du second degré de z, z/, 2"... 7 z(*), z étant une fonction quelconque de x et z', 2/,... ses dérivées successives; désignons par g'(z),w/(z'),...,0(z()) les dérivées partielles de o relatives à z, de Fr lis nous disons que l’expression

d.g/(z) d'o'(z") duwl(zr))

LA PAM ENNE) UN EUEE NE db EN AGE 1 Sa + LOT ES et dx % dx? #à Fra dx"

fonction linéaire de z, z', z/,..., 2(2), peut se mettre sous 27 5 L 9

la forme

ro d,A,z2 ANA dn, A, tn) (6) AE RS te Re dx dx? dx" À, À,, 5%, À, ne renfermant que la variable x. Remarquons d’abord que si lon fait, pour abréger, d?o

EF re dat) dz ©)?

a, = a, ne renfermant plus ni 3 ni ses dérivées, la fonction o aura nécessairement la forme

D > dy8s tr An28 Æ :Gor22 à Het à on 220) Î Fa: | A 7 ; Fr 1h) —+- ie Z + di2 Z 2 À CR UC OT à 2 in? Z\ ?

La mire H y(n) Per Ti 9e AL 0, ei do 2 2

ses dérivées partielles seront donc

1[%\ Le . ! 7 \ w"(z) Ayez + do2 + A2 +... + ain),

Ha / Sn 7 D'(z") —auwz+ai3 + 452 +... +ai,z), 4 Ce /4 APS 4 / /

p (z ) Eh: PT ee Ai + A2’ 2 4 » . + FES ACTE

! 4; ! (a g'(20) — 4503 + An 2 + 42 + + una).

Diflérentions ces équations par rapport à x, la seconde une fois, la troisième deux fois, etc., et ajoutons-les après avoir changé le signe de la seconde, de la quatrième, etc., équation, nous trouverons la fonction ® (z) exprimée par une suite de termes dont les suivants

14 2 [24 (n) d.aiz d'.asse Ve A 1 à

(7) GET dx ue Art de. Ma dx"

ont déjà la forme voulue (6). Les autres se groupent deux à deux en binômes de la forme

q) p PP Apq 21

PA 2 \P) LS ASE Es mn Au re Re AE UE

dont chacun peut encore être ramené à la forme (6), En effet, soit p => q, p — q = r; désignons par h, 1, k trois nombres entiers positifs tels que A+i+k= p+g,et h2k; écrivons pour simplifier a au lieu de Aygs Et-posons df, ati) z(4)

lip ets

dxh dx"

en prenant chaque fois le signe supérieur ou inférieur suivant que À — À est pair ou impair; le binôme qu'il s’agit de transformer sera

Lg =(— 1) [p, g].

Or il est facile de s'assurer qu un binôme quelconque de la forme [ h, | se décompose en deux autres de la mème

forme, et qu'on a généralement (A, 4]= {A 1, AÏ+Ta— 1, à Ha), on aura donc aussi

LP, g]=p—1, gl +[p—1, g +).

On pourra décomposer de nouveau chaque terme du second membre en deux autres, et en continuant ainsi, on parviendra nécessairement à exprimer [p, q| par une suite de termes qui rentrent dans l’une ou dans l’autre des formes

Le, ml, [mel Nais, eu vertu des notations admises, on a

a, hi 2 Pa ; . dm+i atp+1-m— Ai) (mn) dd. atP+a—2m 1); (+) (5) Le +4, 0] = — = ——————————— —— (4 E (SE

dn..afp+1—2m) 3(m)

dx"

Ainsi les termes dont se composera définitivement [| p, q| et par suite le binôme Z,, auront tous la forme requise. On peut ajouter que l'indice du premier terme sera g, et vus 2 + D + 4 — 1 :

celui du dernier terme 277 où 2277", suivant que De 2.

p + g est pair où impair.

86. Nous pourrions nous contenter de ces indications générales, qui prouvent déja suflisamment la possibilité d'effectuer la transformation dont il s’agit; mais comme la marche que nous venons de signaler conduit très-facilement au développement définitif de [ p, g|, nous ne laisserons pas de la suivre jusqu’au bout.

On trouve d'abord successivement D Cradle dat] Et Rien (ren gi pe, 91 + [Pr 2, gr Lp — 2, g]=[p —3,q]+ [Cp —3;g+ 1],

Lga+2,qal=lg+i,q)+la+iq+ih

on à d’ailleurs, en vertu des relations (8),

[+ 1, g}= UE q y

substituant, il raie donc

(9) Cp; 9) == [904 D+la+ng+il

+ [g+2,q+i]+...+[p—i, qg+il.

Cp; q| (9 q| + |g +1,qg + 1] +R, EX ser .

si l’on fait, pour abréger, .

Ri=([g+2,g+1]+[9+3,g+i]+...+[p—r, 9+nl:

Les différents termes de cette dernière équation, développés de la même manière en série de la.forme ? (9), donnent successivement

Ty +, qg+i]=-[fqg+1, g+al],

[g#3, 9 +1] — (+2, g—+il+ig+2 92),

ie pe ce

[g+4, g+il=-[9+1, g+1]+[q+2, +2]

: ‘ 1 praigul la + +++, 9 +2] +[g+3, g+2]+... + [p—0, g+01.

DISTINCTION DES, MAXIMA ET MINIMA. 171 En ajoutant ces équations en nombre p—q—2=1# 2, on trouve

| 4 R==(r-52)[7 +1, g+ilæ(r—3g +2, HE PA + R,