OU
Ro (7 OR + 3, al x—5)[g 4 di 21 HR. 1.[p 22 |.
Chaque terme de cette nouvelle série peut se développer de la même manière, et ainsi de suite. Si l’on appelle n, le coefficient du terme qui en a p avant lui dans Île développement de la n°"* puissance du binôme, en sorte que
No Nn—= TI, RE MIERR El à = — TEE
7 (n— 1) (z—2)...(n—p+1) D DR .p
Rp Nip =
UN
si, de plus, on se rappelle la relation facile à vérifier w Ro + pme (8 +i)prs qui donne l’une après l’autre lestégalités
Ho — (na + 15% n+(a+il=(r+2), nj+(n+i)+(r+2h=(r +3),
> Br Fate el D SET nds Wrin. +. à. + 6 ele à jets € 1h! Se le sise 2" v ete dsl e
y + (nr + then +2) +... + (2 +p)r — (re + +1), ou, en d'autres termes,
Hn je (ze cts 1h Si NE (72 à 2): : t- ùr + (za NAS p 1n re (re alor P Te 1}n4 (E
on trouvera successivement
RL (r—3).[g+2, ga] + (r—4}(g+38, +3] + (r—5}[g+4, g+31+(r—6)[9+5, +3] +...+2[p—3, q +3]
(r—3)},[g +2, +2]-+(r-44) [4-88 7-28TePR,
Ro fr — 4h[a+ 3, 9 3h (r— 5) [g +4, 9 FAI
+ (r—6), [9 +559 + 41865 } Ta +6 9141 +...4+3,[p — 4, q +4]
= Sfr hla+8 9 +8]+(r—5h[a+é +41 Rs
etc. On poursuivra ces développements jusqu’à ce qu'on ait épuisé tous les termes, c’est-à-dire jusqu’à ce qu’on arrive à une expression qui n'ait plus besoin d’être transformée. Cette expression sera, dans le cas où rest un nombre impair :
r— TI r —
= 544 To M > l
Ft
ne)
dans le cas où r est un nombre pair -
r r | z' A AN 3 — — nul EUROS: rc Es" hi: 28 8. E pe .
R,. =2|9 dre PT + fo+t 441)
“à c Si l’on substitue les valeurs de R;, R:,...,1p, g | sera exprimé par une série dont les termessuccessifs renfermeront[9,qgl,[a+r,g+il, [qg+2,g+21,..., multipliés respectivement par les coefficients
Remettant pour [p, g{, [9, a], [g+:, g+xl,...
leurs valeurs, on aura donc définitivement
dP. az). d. az(P) d1. at”) z(4) r dti, au2) Z(9+1)
dx? + du 7 dx1 T dei r (r — 3) dit? al—)3(9#2)
n “4 ë C9 dxTr?
r(r Lie: 4)( (r ts 5) dits. atr—5) z(4+3) CHE — een lon mi TUE 1205 Var :
série qui finit d’elle-même lorsque les dérivées de & cessent d’avoir un sens, et où l’on prendra le signe supérieur ou inférieur suivant que la différence p — q = r sera paire ou impaire. Le dernier terme de ce développement sera dans le premier cas
et dans le second
LS r pr Ge une MT TEE Le le indice q —|- — —= LM > OÙ PE — 7 “AC À ce D} 2 f 2 2
174 CALCUL DES -VARIATIONS3) | Mae
qui affecte ce dernier terme, est nécessairement inférieur à n, puisque p est. tout au plus tégalà %, et p > g. Cette observation est importante, car elle prouve que les binômes Z,, qui font, partie de D (z) et qu'on ramène à la forme (6) par les développements qui précèdent, ne peuvent contribuer en rien à Îa formation du terme 1 RS EAU)
dx"
ment au dernier des monômes (5). Il est donc démontré non-seulement qu'on peut développer ® (z) en une série de la forme (6), maïs aussi qu’on aura dans le derniér terme dece développement,
» lequel, par suite, devra son existence unique-
87. Revenons à l'expression Ÿ (z) que nous venons de mettre sous la forme LIAIZON AIDES 4. d'. Anz0 J
dx a dx"
Si nous y remplaçons z et ses dérivées z', z/,...,parume autre fonction u et ses dérivées u’, u”,...."ellerdeviendra
Cela posé, nous allons démontrer que la différence uP(z)— zb{u)
est une dérivée exacte, quelles que soient les fénctions LLCLEZY Considérons en effet deux termes correspondants quelconques dP. A ,z() dr A» u(P) |
DISTINCTION DES MAXIMA ET MINIMA. 179 de cette différence, et rappelons-nous que, d’après un théorème connu du caleul différentiel, on a
' el utp) — Ê du AS UT p (p — 1) d’.A, z(P) ulP—?) 1 2 dx y z . 2 | Aqua —E RAS Pt — 1) d?, A ,u(P) z(P—?) fr | Lee dx? FT |”
si l’on retranche la seconde équation de la première, et qu'on fasse, pour abréger,
PA AE A, [utp) z(P) Len u(P)z(P)] =10,
U, = Ê A, [utr) 2-0 —— UNE zRPET, | I
IT { NE af!
| PE 1 A [utp) ZE?) __ yg(P—2) z(P)]} ja
\ U, = A, [u(P)z — uz(P)1, le couplede termes que nous considérons, deviendra
\ d?,.A,zP) dP.A} utP)} Œ\ dU, air Ü,] 2 DRE a 7 à ut. ut Li — Re LÉ PS LT a Vie MAPP ES | dx | dx ide PT |
- Si, dans cette équation, on donne successivement à P toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu’à 7.et qu’on ajoute les différents résultats ainsi obtenus, on trouvera la différence u D (3) — z D (x) exprimée par une suite de dérivées exactes: cette différence sera donc bien ellemême une dérivée exacte.
88. Examinons en particulier la forme que prénd la différence u ® (z) — z D (u), lorsqu'on y fait z = uz,;,
z, étant une nouvelle fonction quelconque de x. Si, dans les équations (11), on substitue à z et à ses dérivées les valeurs
He), f z'—uz + u'z,
(4 [4 ñ 2 = us +2uz + u”2,,
D se DAND EE | € LEA DIROANAC ) PPT)» (pt)
= Le... u@ie 1 au
Zz(P) — u2
U,, U,,..., U, deviendront des fonctions linéaires de
3, z",..., 2% et le coeficient de £ dans le développe-
ment de U, sera
A, ; Re | pp 0). (pres +) tr) ut
plpi)..(p— r+1) pp —1).(p—5+1)ur at},
expression qui reste las même lorsqu'on permute entre eux les indices r, s. Ainsi U,, U,,..., U, seront exprimées
par des équations linéaires en 7°, 2°,..., 2°; dans lesquelles les coefficients seront les mêmes sur les lignes horizontales et sur les lignes verticales de même rang; il en résulte qu’on peut les représenter par les dérivées parelles d’une fonction , homogène, entière et du second
; ) degré de z', z!,..., ZùE , de sorte que
4 4 UE a, U.
DNA RRE FE ET He | a
Dès lors, si l’on’ajoute les équations (11) après les avoir
multipliées respectivement par z,, z, z",...,2%, le
premier membre sera 24,, tandis que le second membre
À» u(P) < Mr AR) a RE z3 \
HA
— À, 2(P) up) 2; + L nc) 2 +... + us
se réduira à
dP .2z; dP.uz;} A, lufP) 2 (P) | À dx dx? |?
on aura donc 1 dl 22 dP.uz > (P) ER Dine rt (12) Ÿp A ju TS ( TU
valeur symbolique, ou abrégée, de la fonction homogène du
second degré en 2, z,:.., 24 dont lesdérivées partielles
représentent les quantités U,, U,,..., U,. On obtiendra la valeur de d,, sous la forme définitive, en remplaçant z par uz, et effectuant les différentiations indiquées.
Les différents couples de termes dont se compose la différence u D (z) — zP(u), s'expriment ainsi par les dérivées partielles de certaines quantités d,, d.,..., d,.
fonctions homogènes du second degré en z',2",..., 21".
Done, si l’on fait d— VE de +... da, [2 (n)
Ÿ sera encore une fonction homogène de z°, z°,...,2z du second degré, et l’on aura (eo) ar
d dv! (2) d'a") udiae zu) HUIT CR RRQ npr er SAR RTE y le (1 ) u (z) (x) dx ÿ"( à dx ai dx"! \ Il est essentiel de se rappeler qu'un terme quelconque d, de la somme bd—%, +4, + ...4, ne renferme les dérivées de z, que jusqu'à l’ordre p inclusivement,
car il en résulte que le carré z.
entre u niquement
