En résumant les résultats auxquels nous sommes

parvenus, nous pouvons maintenant énoncer les deux théorèmes suivants :

» Le Taéoreme I. — Si ® est une fonction homogène du second degré en z, z/, z/,..., z("), l'expression

dp(s)., d'.e(77) dr. g'(z0) A1 RES ET) Rp rte LEE LS LR à?

PAt2) dx pr dx? dx"

La.

sera une fonction linéaire de z, z', z”,...,20"), qu'on

pourra mettre sous la forme

d.A,z! d?.A,z: d". A. z(1) RU Rd ou tee dx dx? dx" et l’on aura d? 4 A == ds dzta)?

Tuéorème Il. — Si u est une valeur particulière quelconque de z qui satisfait à l'équation différentielle DA ES di AS 2" d'A, 2)

Dr) Ar + HE — 0,

da dx? re

et qu'on fasse z — uz,, le produit u P{z) sera une déri-

vée exacte, quelle que soit la fonction z,; son intégrale

prendra la forme (n)

x . d.B,2 dE 2 MAD TR 2 RES Ph 2. Pi 7. ( } WE dx — dr 9 et l’on aura B, = A, u?.

91. Ces deux théorèmes nous serviront à effectuer les transformations nécessaires pour mettre en évidence le signe de la variation seconde 9S. Lorsque les valeurs limites de x, y, y',7”,...,7"7" sont fixes, cette variation

est, comme nous l'avons déjà vu,

»s =| S(P)or.dx,

et l’on a, d’après la signification connue de (P),

dl, d'JP, dÿP — AVE ae : + ARR % BAR ER Pair te de

Or, en faisant, pour abréger, d?V

lt PART le POP OX

on trouve

‘ (4 0P, = no Z C2 un Zn A La Œn 7 re = PSE Ann 2).

Les seconds membres de ces équations sont évidemment les dérivées partielles de la fonction homogène du second degré

D— —@022+ Anrr + AQ227 +... + Qon220) ÿ-

1! 11 ME ME Aur2 TE ant 2 +... 4aizztus

WE eV COL RDA Te AU

+ & Ann 20420, c'est-à-dire que

OP m Ur) DPI 0 (2%, Pi v (70520 JP, g" (200)