AU

£omme la fonction z et ses dérivées z/, z/,..., zl"-1)

sont nulles aux deux limites de l'intégrale, en vertu de l’hypothèse admise n° 81, il en sera de même de z, et de ses dérivées jusqu’à l'ordre 7 — 1, du moins si l’on choisit

les constantes #,, 2,,..., de manière que w ne soit nul pour aucune des limites.

92. Cela posé, si nous remplaçons z par uz;, nous irouverons, en intégrant par parties,

Te à | x, 05 = [ sut(s)dr = za DZ) + | z ®(2,)dæ, X ra ex,

ou simplement

(RARE 8 — ] 2 @,(z!)d#, “ Li puisque z,, comme nous venons de le dire, est nul aux deux limites de l’intégrale.

Cette nouvelle intégrale se transformera de la même manière, dès qu’on aura trouvé une valeur quelconque de z', qui satisfasse à l'équation différentielle P,(z,)= 0. Or, comme

Al d.æ,(2%)

Ds ES mur. | à chaque valeur de z qui rendra D (2) nul, correspondra, en vertu de la relation z = uz,, une rai de z+ qui réndra D, (z,) constante, et si nous posons

Eh pu Ÿ +... + Bu VW,

Bi, G:,-.., étant un nouveau système de constantes arbitraires, l’équation Ÿ(z) — o setrouvera satisfaite quand on donnera à z la valeur », ce qui revient à remplacer z par #’,. Donc la valeur #, de z, réduira la fonction ®;(z') à une constante, ou fera qu'elle ne dépende plus dex, mais uniquement des valeurs attribuées aux constantes arbitraires æ&, 5, dont on pourra disposer de mamière à rendre celte fonction nulle, où à vérifier identiquement

DISTINCTION DES MAXIMA ET MINIMA. 183 l'équation D,{# ) — 0. Dès lors en faisant

4 (4 il z, ntfs

on conclura du théorème IL que P;(z) est la dérivée exacte d’une expression

d.C, z! de? ,C,zt) PS SN ER “AE —— ne © 2 RE " CCR. ere mer

et qu'ainsi une nouvelle intégration par parties ramènera la variation seconde à la forme

(16) d?$ = f z, Dr(z,)dx T;

À chaque valeur de z', qui rend ®,(z°) nul, correspond, en vertu de la relation z°=— v’ 2°, une valeur de z°, qui réduira ®,(2") à une constante; or si l’on pose

À ARE à 1 ns à ET TIRE ce Van 9 WW, WP W,)

dan

d EE Coran T7 on pourra ape des nouvelles constantes arbitraires

ir Li: \ PES 2, Q w!

Ji3 Vas «de manière à Hérihes I équation Di(w)—o; donc D: sera une valeur de z, qui rendra la M P, (z°) indépendante de x, et qui par une nouvelle relaon convenable entre les constantes arbitraires rendra cette fonction nulle, en sorte que l'équation P, (w°)— 0 sera identiquement vérifiée. Dès lors, si l’on fait