HUIT 2 W

la variation seconde prendra la forme

( I 7) d2 S sd Lan D, ( z" :) dæ.

Une nouvelle transformation semblable conduira à exprimer la variation seconde par une nouvelle fonction indéterminée 2, et amènera 2n nouvelles constantes

184 GALCUL DES VARIATIONS.

arbitraires, liées entre elles par trois équations de condiüon. En continuant ainsi, on arrivera nécessairement à une équation

(18) MS— | 2, (2) dx,

dans laquelle ®, (29 ) aura la forme Q,z°" . Le coefficient

Q, est d’ailleurs facile à déterminer, car on a Œ&V

DE FE 2 nds r? 1e Ar = dyn?? B, = A,u?, Ce = B,e' , D, — Crw! , elc.,

et par suite,

valeur qui, substituée dans la variation seconde, lui fait prendre la forme

D EPS (19) 6 | à PME CLARA dx.

93. Avant de tirer de cette forme dernière de d?S des conclusions définitives, il est bon de rappeler les substitutions qui y ont conduit, et de passer en revue les diverses formules qui doivent servir au calcul du facteur

uv'w"...2, Soit toujours

MR JA te So ta

l'expression la plus générale de y en x qui satisfasse à l'équation différentielle de l’ordre 2n, (P) — 0, et dont on a déterminé les 272 constantes arbitraires @,, @:,... . \ 0 Q Al à LE de manière à rendre nulle la variation complète de l’intégrale S = f V dx. Pour amener la variation seconde à

DISTINCTION DES MAXIMA ET MINIMA. 189 la forme voulue, on écrira d’abord les n équations : ea Te + D ++ an D (20) o RE +R +. + Bu D CET T. Ye L +. Po 2. :

col ete ‘le iv ln ete, 07 8, AD AT ee + oien de ot nn 'e, s# «

dans lesquelles +, 6, y,... sont des constantes arbitraires en nombres: n°; ensuite on fera successivement

Vus M UW,,,. ONE UZ,,

et l’on tirera l’une après l’autre de ces équations les valeurs des quantités u,#'., w",,... exprimées au moyen des

Parler «dr fonctions 25" et des constantes « SPRL LE da,’ D, € da. , ; P

Ces constantes ne sont pas tout à fait indépendantes les

unes des autres, car elles doivent satisfaire aux FÈTE. T .

équations suivantes :

| do )—o, (ww (22) { P(æ”

| DO REtn UN .

les fonctions D,, ®,,..., étant définies par les équations Jub(z)dr = — (3), Joi®,(z,) = — d(z,),.

Ajoutons que le nombre de constantes réellement indé-

pendantes éprouve encore une réduction considérable par

le fait que le produit uv .w,... ne renferme que des

combinaisons particulières de «, 6, Ys++.9 OU Fr lement les rapports de ces combinaisons, entre lesquelles il existe en oütre un certain nombre de relations identiques. Nous ne pouvors signaler ici que d’une manière vague cette réduction, qui se présente d’ailleurs d’ellemême dans les cas Dore

“Le facteur z° , le seul qui dépende de la variation dy

ou z, est une ncHon hhéairé de 2,642 "eee comme on le prouverait sans peine en exprimant succes-

sivement Z,, 2! en z à l’aide de la dernière colonne

D JU Es

des équations (21), auxquelles on peut donner la forme