La théorie des déterminants fournit du. resie un (n
moyen très-simple d'exprimer le produit u#w,...2 en fonction de u, v,w,...,2, comine l’a prouvé M. Hesse (Journal de Crelle, t. LIV, p. 227 et suiv.) dans unexcellent Mémoire, auquel nous avons emprunté unepartie des développements qui précèdent. M. Hesse commence par énoncer le théorème suivant :
. © En désignant par a, b,c,...,n + 1 fonctions d'une seule Variable et par a', a/,..., al) les dérivées succes- ‘sivés de la première ion , par 0/,.0/, 20000
de la seconde, etc., on a
| a} (a) -aMha)e7, 44/3100 Ha (8) (YA) | 6 8..0m | Ékc) Cie)... r 00 L'10-170000S
À étant une constante ou une fonction quelconque dé ja variable indépendante. »
On établirait sans peine ce théorème en développant les dérivées qui entrent dans le premier membre, et s’appuyant de ces deux propriétés connues des déterminants:
1° qu'on peut ajouter ou retrancher à tous les éléments d’ une même colonne des quantités respectivement proporüonnelles aux élémens d’une autre, sans altérer la valeur du déterminant; 2°. que si lon multiplie chaque élément d’une colonne par un même facteur À, le déterminant entier se trouvera multiplié par À.
Cela posé, considérons le déterminant
| ARS AMP AU)
| 0 pp : p(n) D= w x’ È (2) | ;
| z a ar
remplaçons u, v,w,... z par leurs valeurs,
UE OURR, ARTE T0 uz,
Substituant à #'#sv,..., 2" leurs valeurs
tirées de la seconde ligne des équations (21), on trouvera
de même
D= 2% A) Te EG ne
et, en continuant ainsi, on arrivera enfin à l'équation
(23) D = ire. Zi
Le déterminant
qui se déduit de D en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne, se réduira de même à .
—1 Nm) FE D, = up" pl...
En divisantle premier déterminant par le second, on aura
pr
/ D En) (n) (24) = WW, . 7,05 112 )
c'est la valeur cherchée du produit en question, et la variation seconde deviendra, par conséquent,
(25) Ps = f Mae A dyt? D; Ti
La variation dy ou z, avec ses dérivées, entre uniquement dans le numérateur D, et si l’on représente par D,
la dérivée CRUE dz\P)
indépendant de z, z’,..., 21%, le rapport des deux déter-
> laquelle à son tour est un déterminant
minants contenus dans dS s’exprimera ainsi :
D __D;z + D,3. +... LD:
95. Cette discussion a été nécessairement un peu longue, mais par compensation les conclusions qu’on en tire sont très-simples. La forme (19) ou (25) à laquelle nous avons pu ramener la variation seconde de l’intégrale f Vdx, prouve, en effet, que le caractère distinctif du maximum et du minimum se trouve uniquement dans la dérivée partielle du second ordre
dytn)?
Si cette dérivée reste toujours positive ou toujours négative entre les limites de l'intégrale pour la relation entre x et y soumise à l’examen, cette relation correspondra dans le premier cas à un minimum, dans le second à un maximum de l’intégrale; mais si elle change de signe entre les limites dont il s’agit, il n'y aura ni maximum ni minimum. Dans ce cas, en effet, on pourrait évidemment disposer de la fonction arbitraire z ou dy, contenue dans le facteur D, de manière à rendre à son gré la partie positive de l'intégrale (25) plus grande ou plus petite que la partie négative, et par conséquent la variation seconde d°S serait elle-même susceptible de changer de signe.
Dans ce que nous venons de dire, nous avons supposé
: D Te le facteur — ne
implicitement que ni la dérivée
deviennent infinis pour aucune valeur de x comprise entre les limites x, x, et nos conclusions ne seraient plus légitimes s’il en était autrement, parce qu'alors la variation seconde d°S pourrait elle-même devenir infinie, ce qui rendrait incertaine Pexistence du maximum ou du minimum. La règle que nous avons énoncée ne sera donc rigou-
190 CALCUL DES VARTATIONSS
reusement établie, qu'autant qu'il sera démontré qu’on peut trouver pour les constantes «,5,...,@1, B:,...,ün système de valeurs qui satisfasse à la fois aux conditions (22) et qui ne rende D, nul pour aucune valeur de x compriseentre les limites de l’intégrale. La rt de reconnaître s’il existe ou non un pareil système de valeurs, est en réalité la partie la plus délicate de la théorie de Jacobi, et elle attend encore sa solution générale.
: : LL , D x Nous n'avons plus à examiner ici le cas où TS pourrait n +
être constamment nul entre les limites de l'intégrale, car nous avons déjà fait remarquer, au commencement de. cette leçon ,que si l’on pouvait admettre une valeur de dÿ qui rendit constamment nulle la fonction sous le signe intégral dans la variation seconde, on n'aurait affaire ni à un maximum ni à un minimum de l'intégrale proposée.
96. Après avoir exposé la méthode générale par laquelle on distingue les maxima et les minima des intéorales simples, renfermant une seule fonction inconnue Y
avec ses dérivées successives jusqu'à un ordre quelconque, nous allons faire l’application de cette uthède aux cas particuliers les plus ordinaires.
Supposons d’abord que dans l'intégrale
ge Ta Sie £ V dx,
ce À
dont 1l s’agit de trouver le maximum ou le minimum, V ne renferme que x et.y; soit de plus
la valeur de y qui rend nulle la variation première de l'intégrale, la variation seconde se réduira, pour cette
LE
même valeur de y, à
d'où il résulte immédiatement que le maximum ou le
. . Q . Poe » ŒV minimum a toujours lieu, lorsque la dérivée es reste y
constamment soit négalive soit positive, sans devenir in-
finie, mais qu’il n’y a, au contraire, ni maximum ni minimum toutes les fois que cette dérivée change de signe entre les limites de l'intégrale.
97. Considérons en second lieu le cas où la foncuüion V dans Pintégrale f V dx renferme x, y, 7". Soit
Fi rar, à) la solution qui rend nulle la variation première; dési..
; ds 1. à d gnons, pour abréger, par r,, r, les dérivées partielles Le a,
d à ee Nous avons vu (n° 82) qu'en donnant à dy la valeur AE NS
Gil + ol, 1, Ga Étant des constantes arbitraires, on rendrait nulle la variation seconde dS, et qu’il n'y aurait, par conséquent, ni maximum ni minimum, si dy pouvait recevoir cette valeur dans les conditions du problème, qui exigent que dy soit nulle aux deux limites de l'intégrale. La première condition du maximum ou du minimum esi donc que l'équation Fr | 9 Lt ons 0 8 ON : RS ne 3121;
m étant arbitraire, ne puisse avoir lieu à la fois aux deux limites de l’intégrale, ni même pour deux valeurs quelconques de x comprises entre x; et X,, C'est-à-dire que le
7 . A rapport - ne passe pas deux fois par une même valeur m,
lorsque x augmente continuellement depuis x; jusqu’à x.. Si cette condition est remplie, on examine de plus près la variation seconde
CS =f* P\oydx,
laquelle, en faisant z — dy etu—= api + rs, prend la
forme Fe DNAuË— vz do =——————— (He ais dx .
dy’? u?
Comme la variation seconde ne peut non plus devenir infinie, sans que l’existence du maximum ou du minimum soit compromise, il faut en second lieu qu’on puisse assigner aux constantes arbitraires &,, «, des valeurs telles, que le dénominateur w ne s’évanouisse pas, c’està-dire que l’équation
&71 + 272 — O0, Ou (0
ne soit vérifiée pour aucune valeur de x comprise entre æ et Xe Or cela est toujours possible pourvu qu'il existe
une valeur que le rapport - ne prenne pas entre les i- T
mies de l’intégrale, puisqu'il suflit alors de donner-à m
Lo
ou à — — précisément cette valeur. La nouvelle condi-
fi tion du maximum ou du minimum est donc que le rap- Lan é . Q 2. , port — ne prenne pas, entre les limites de l'intégrale T
toutes les valeurs possibles depuis CRIS jusqu’à #00. ,
DISTINCTION DES MAXIMA ET DES MINIMA. 193 La : e ? Cp A Le rapport — jouit d'une propriété, remarquable que T2
nous allons indiquer. Comme 7, et r; aussi bien que la
fonction plus générale &, r, + &,r, sont des valeurs de dy
ou de z qui rendraient nulle l’expression d (P), à laquelle d.A,z/
on peut donner la forme À,z — 7, On aura identi- Le quement d.A,r d'A, r" A pi, Eee eh Te Aa 9 o71 4 , 072 dx ?
ou bien, en éliminant À, et intégrant,
{ 4 2 Altnr—nr/)=C, =
Cette dernière équation, dans laquelle C est une conad?
stante arbitraire, et À, — TA? montre que la dérivée de F
7 ne ch de sig a Yen ch ; 7. ne change pas de signe quan gra en change point, ce qui d’ailleurs est une des conditions essentielles du
maximum ou du minimum. Il en résulte que le rapport 7 . , . ° .
— est sans cesse croissant ou décroissant ; que s’il est crois- T2 sant, après avoir atteint la valeur + , il passera brusquement à — æ pour croître de nouveau; que s’il est décroissant après être devenu égal à — « , il deviendra subitement + « pour décroître encore; de sorte qu'il ne pourra reprendre la mème valeur sans passer successivement par toutes les valeurs possibles comprises entre - LA L2 L] L] e A 7 — © Et + D. Ainsi les deux restrictions imposées à — T2 par la condition que la variation seconde ne devienne ni nulle ni infinie, se confondent en une seule. On voit en IV. 13
même temps combien il est essentiel que.les limites de : l'intégration ne soîent pas trop étendues. En effet, si l’on fait croître la variable x à partir de la limite inférieure
61 r re . L | «3, le rapport — croîtra ou décroîtra d’une manière con- , T2 , ,
tinue et pourra, après avoir passé une fois par l'infini, reprendre, pour une certaine valeur de x, la valeur qu'il avait pour x — æ1 3 cette seconde valeur de x est la hmite supérieure Jusqu'à laquelle ou au delà de laquelle l’intégration ne doit pas s'étendre, pour que le maximum ou le minimum puisse avoir lieu.
Ces conditions préliminaires étant remplies, l'inté- S ; prie d?V:
.grale S sera un maximum si la CRE reste constamment négative, un minimum si elle reste constamment positive; mais l’intégrale ne sera ni maximum ni, minimum si la dérivée dont il s’agit ALES de signe entre les limites x, et x.
98. Considérons encore li nt grale f Vdx dans laquelle V.est fonction de x, y, y’, y”; A que
M Dir tiait di, G3; &)
soit lasforme de y qui rende nulle la variation première JS; désignons, pour abréger, par z la variation dy, par :
Pie # e. df É a df df l'as Tes T'as T1 les dérivées partielles Eat —— ; —<—, et Fe ee à P da, da, da, posons U— Ar Hd: + GT + Gr, p—= Bin +bir ++, TS RE À TPE FA DEA VIL HN pri D, = 3 San) / "
ï Ce
la variation seconde prendra la forme
»s= | te x, ® Di
Entre les huit constantes &, G, il existe [(22),n°93] une certaine équation de condition ,(v)— 0, que nous n'examinerons point ici. Îl est d’ailleurs facile de voir que ces constantes n’entrent dans les déterminants D et D, que par les six combinaisons
&i Ba — &2 Bis Cu Ba — 3 Bis a B, — a B, do B3 — 23; Gex Ba — 4 @s Bi — @s Ps
liées entre elles par une relation identique; car si, au produit de la première et de la sixième combinaison, on ajoute celui de la troisième par la quatrième, on retrouve identiquement le produit de la seconde par la cinquième. À joutons que la variation seconde d?S ne contient que le rapport de ces combinaisons, de sorte que le nombre des constantes réellement arbitraires se réduit à trois.
Cela posé, pour l’existence du maximum ou du minimum, il faut:
1° Que d y n’admette pas de valeur qui rende nulle la variation seconde d°S, c’est-à-dire qu'il n'existe pas de valeurs des constantes &,, 4», &3, &«,, différentes de zéro, au moins quant à quelques-unes d’entre elles, qui puissent vérifier l'équation
Qi Fi + Go la + Ga + X Ty —= Q
aux deux limites de l'intégrale, ou, en général, pour deux valeurs distinctes de x comprises entre ces limites ;
2° Que la variation seconde ne devienne pas infinie, et, en particulier, qu'on puisse assigner aux constantes a, B des valeurs qui ne rendent nul le dénominateur
196 CALCUL DES VARIATIONS:— DISTINCTION, ETC. D, = uv — wy, pour aucune valeur de x comprise entre Li Lt Lo ;
d’V : ti 3° Que jrs ne change pas de signe entre les limites
de l le Si ces trois conditions sont remplies, il y aura maximum reste 2 : d?V ou minimum, suivant que la dérivée —; api négative ou positive.
Nous ne parlerons pas ici de la A ction desmaxima et minima des intégrales doubles; les indications qu'on a données à cet égard n'ont guère d’utilité pratique, parce qu'elles reposent sur l'intégration de certaines équations aux dérivées partielles, intégration qu’on ne sait
presque jamais effectuer.
