NEUVIÈME LEÇON

Recherche de courbes planes ayant des propriétés de maximum ou minimum.— Ligne la plus courte entre deux points. — Courbe de longueur donnée renfermant l’aire maxima. — Courbe qui engendre la surface de révolution minima.— Courbe de longueur donnée qui engendre la plus grande ou la plus petite surface de révolution. — Courbe de longueur donnée qui engendre le solide de révolution du plus grand ou du plus petit volume.— Courbe génératrice de la surface de révolution qui sous une étendue superficielle donnée renferme le plus grand ou le plus petit volume.

99. Parmi les applications du Calcul des variations à la Géométrie, les plus simples sont celles où l’on cherche des courbes planes jouissant de certaines propriétés de maximum ou de minimum. L’équation de la courbe étant rapportée à un système de coordonnées rectangulaires x, y, la question revient toujours à déterminer y en fonction de x de manière à faire acquérir à une ceriaine intégrale ou à une certaine expression définie sa plus grande ou sa plus petite valeur. La marche à suivre pour résoudre toutes les questions de ce genre ayant été expliquée avec détail dans la sixième leçon, il nous suflira de passer en reyue d’un coup d'œil rapide les formules dont nous aurons besoin.

Dans les problèmes dont la résolution sera l’objet de cette leçon, l'intégrale qu'il s’agit de rendre maximum ou minimum ne renferme avec la variable x et la fonc-

tion y que la dérivée du premier ordre y’. La question à résoudre est donc celle-ci :

Étant donnée une fonction V de x, ÿ, y’, trouver la relation entre ÿ et x pour laquelle l'intégrale

Lo S = f Vdz

devienne maximum où minimum.

Si l’on appelle P, P,, les dérivées partielles de V relatives à ÿ, 1, la variation complète de l’intégrale sera

+] (Vx, + P,0 y) =} (Vôx, + Pidy).

dP, dy.d ) As

La forme cherchée de la fonction y doit rendre dS nulle et par conséquent satisfaire d’abord à l'équation différenelle du second ordre

.( | Br neo W'kes laquelle, par deux intégrations successives, donnerala relation eherchée entre à, y, avec deux constantes arbitraires.

L’équation (1) s'intègre immédiatement une première fois lorsque V ne renferme pas la variable x, mais seulement y, y, et elle conduit alors (n°61) à l'équation différentielle du premier ordre

(2) V By ec;

c étant une constante arbitraire. Lorsque V ne renferme pas y, on a P — o, et l’équa-

NE ton (1), devenue ee

COURBES PLAÂNES. #3 199 d P

— 0 et intégrée, donne

P,=— constante.

Dans le cas plus particulier encore où V et par consé-

“quent P, est fonction de la seule dérivée y’, il en résulte

[RE a] 7 { AG à a] 3Q Y'= constante, et, par suite, en désignant par a et b des constantes arbitraires |

y = ax + b,

équation d’une droite qui est alors la ligne cherchée.

Les équations aux limites sé modifient selon les restrictions imposées aux valeurs limites de x, y, ou aux points extrèmes de la courbe cherchée. On remarque surtoui les cas suivanis : |

© La courbe doit étre menée entre deux points fixes. —- Les valeurs limites de x, y, étant données, la variation DS ne fournira aucune nouvelle condition relative aux limites. $

2° La courbe doit étre menée entre deux droites fixes parallèles à l’axe dés y.— Les valeurs limites de x étant données el celles de y restant variables, on aura (n° 57, 1°) les nouvelles conditions

X, La | Pre 0e los;

on les énonce plus simplement en disant que l’équation |

doit être vérifiée aux deux limites de la courbe. 39 La courbe doit étre menée entre deux droites

fixes parallèles à l’axe des x.— Les valeurs limites de

y étant données et celles de x restant variables, on aura

(n° 57, 3°) les équations aux limites

x, La Dome, [w-vye,

ou. plus simplement °P P ,

(4) V—Py —o

pour chacune des limites de la courbe. Dans le cas particulier où V ne renferme pas x, nous avons vu que l’équation générale de la courbe prend la forme V—P,y=c; la condition (4) exige alors qu’on ait c — 0.

4° La courbe doit étre menée entre deux lignes quelconques.—Soit ÿ —=f{f(x) l’équation de l’une ou de l’autre de ces lignes ; les coordonnées de l’extrémité correspondante de la courbe étant assujetties à vérifier cette même équation doivent en outre (n° 57, 4°) satisfaire à celle-ci

condition qui, en vertu de l’équation (2), se réduit simplement à c+P,f'(x) —o, lorsque V ne contient pas x. Les équations aux limites, jointes aux restrictions posées à priori, serviront toujours à déterminer soit les points extrêmes de la courbe, soit les constantes arbitraires contenues dans son équation. | Les formules simples que nous venons de rappeler suffisent à la résolution des problèmes suivants :