PROBLÈME VI
108. Trouver une courbe telle, que la surface engendrée par sa révolution autour d’un axe donné étant constante, le volume contenu-soit maximum ou minimum.
Soient x, y les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, l’axe de révolution étant pris pour axe des x; il s’agit de déterminer y en fonction de x, de manière que SY Vi+ y? dx ayant une valeur donnée, f y° dx devienne maximum ou minimum, ce qui revient à chercher le maximum ou le minimum absolu de l’intégrale
Te Tu pie TL ‘
On a V=y— 2ayWi+y, P=2(y—aÿi+yt), 2aYY" dNItE 24aY Die à) dv TR TO SR V4 y y (+y°}
et l’on voit déjà qu'il faut supposer la constante a posi-
tive pour obtenir le maximum, négative pour obtenir le e. , , .e
minimum. Dans l’un ou dans l’autre cas, la fonction y
doit satisfaire à l’équation différentielle du second ordre”
dP, ? ° z l° — 7 0, que l’on peut remplacer immédiatement, 7 4.
puisque V ne renferme pas la variable indépendante x,
par l'équation différenuelle du premier ordre
V—Py = oc, ou
(1) V} — AE sd = C, Var
Telle est donc l'équation différentielle de la courbe cherchée. Elle ne permet pas d'exprimer y en x au moyen des fonctions dont on se sert dans l’analyse élémentaire, mais il est facile d’en tirer une relation finie entre l'arc s et l’ordonnée. En effet, l'équation (1) étant mise sous la forme à (2) p— 2a7 =,
ds on en lire successivement
EP mo EE ds 2aY ds 2 aY ds Re LAN Viens (RACE et, en intégrant,
223 REDOPEE (3) cos (2 +4) = ET, a 24 Va + c
k étant une nouvelle constante arbitraire.
La surface de révolution dont la génératrice est représentée par l’équation (1) jouit d’une propriété remarquable que nous allons indiquer. Si l’on différentie cette équation, en appelant N la partie de la normale comprise entre la courbe et l'axe des x, et p le rayon de courbure pris avec le signe + ou avec le signe — suivant que ce rayon fait un angle obtus ou aigu avec les y positifs, c'est-à-dire suivant que la courbe est concave ou convexe vers l'axe des x, en sorte que
LRU AE
UE a à à N=y Vi+r”,
on trouve sans peine
