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220 CALCUL DES VARIATIONS. | à
Or p et N sont évidemment les deux rayons de courbure principaux de la surface de révolution ; la dernière équation exprime donc qu en chaque point de cette surface la
courbure moyenne est constante et égale à —. Nous ver- 24:
rons plus tard que cette propriété appartient en général à toutes les surfaces qui sous une étendue donnée renferment un volume maximum.
109. M. Delaunay a donné (Journal de Liouville, VI, 315) une interprétation géométrique très-élégante de Péquation (1) en montrant qu'elle appartient à une courbe décrite par l’un des foyers d’une ellipse ou d’une hyperbole qui roule sans glisser sur l’axe des x.
En effet, supposons qu'une ellipse dont les demi-axes sont a et b roule sur l’axe des x. Son foyer F décrit une
courbe qui, d’après une propriété générale des épicy- =
cloïdes, a pour normale la droite menée du point F au point K où l’ellipse mobile touche l’axe des x. En dési-
gnant par x, y les coordonnées du foyer F et par r le
rayon vecteur FK , on a donc
ds le second membre devant être pris avec le signe + ou avec le signe —, suivant que le point dé contact K se trouve à droite ou à gauche (vers les x positives ou les x négatives) de l’ordonnée y. Désignons par y, l’ordonnée du second foyer F, et par r, le rayon vecteur F, K mené de ce foyer au point de contact K ; les deux rayons vecteurs r, r\ faisant des angles égaux avec l’axe des x, tangent à l’ellipse au point K, on aura de même
dx
Vi ETAT: TE
Det CL Pi A
LD art
Ajoutant et remplaçant 7 + r, par 24, il vient
dx pa TER AA 1 ni ds On à d’ailleurs Fri b?.
Éliminant Y1» On trouve 2 — dx 2 (4) P'F2a Tr + + b?= 0.
Telle est donc l'équation différentielle de la courbe décrite par | le foyer F.
On trouverait une équation semblable pour la courbe décrite par le second foyer F,, avec la seule différence que si l’on prend le signe supérieur pour la première courbe, on devra prendre le signe inférieur pour la seconde, et vise versd. Les courbes décrites par les deux foyers ne diffèrent, en effet, que par leur position.
Il sufhirait de changer b° en — b° et d'écrire
dd.
COTE ART PE a
pour avoir l’équation de la ph Xe décrite par l’un ou par l’autre des foyers d’une hyperbole qui roule sur l’axe des x. |
L’équation (1) pouvant être identifiée avec (4) ou (5) suivant que c est négatif ou positif, on arrive ainsi au théorème suivant :
La génératrice de la surface de révolution qui sous une étendue donnée renferme le plus grand ou le plus petit volume, est une courbe décrite par le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser sur l’axe de révolution.
