Les trois constantes arbitraires contenues dans

CN | EE és A.

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la solution générale du problème seront déterminées de diverses manières selon les restrictions imposées aux limites. Examinons quelques cas en particulier,

1° Les points extrêmes sont fixes. — Dans ce cas la variation de l'intégrale ne fournit pas d'équations aux limites, mais les constantes se déterminent par la condition même que la courbe doit passer par les deux points donnés et que la surface engendrée par sa révolution doit avoir une aire déterminée.

2° L'une des extrémités de la courbe est fixe et l'autre variable. — Les coordonnées de l'extrémité variable doivent (n° 56) vérifier les deux équations aux limites

Pis 0, V0:

La relation générale V — P, y’ — c donne alors c — 0. ce 5 HA ; qui réduit l’équation (1) à

y 24 A Vi+ 7"

L’ordonnée y ne pouvant pas être constamment nulle,

puisque sa valeur est donnée pour la première limite, il est permis de supprimer le facteur y. Résolvant ensuite

| d par rapport a y’ ou on trouve

rd PART PE RARES À

et en intégrant, (x—a)P+ÿe fe,

équation d’un cercle de rayon 2a,-ayant son centré sur l’axe des x.

Si l’on remarque en outre que les équations P, = 0, V — o ne peuvent subsister en même temps pour l'extrémité variable qu'autant que son ordonnée y sera nulle,

on en conclura que la courbe est dans ce cas un arc de cercle qui aboutit d’un côté à l’axe de révolution, et dont le centre se trouve sur ce même axe.

3° La courbe doit aboutir des deux côtés à une droite parallèle à l'axe de révolution.—Les valeurs limites de Y étant données et celles de x restant variables, on a pour chacune des limites la condition

V — BP: “4 EE O qui revient à

CEE D:

On en conclura, comme dans le cas précédent, que la courbe est un arc de cercle ayant son centre sur l’axe des x.

L'’are de cercle devient une demi-circonférence lorsque la droite sur laquelle doivent se trouver les points extrêmes coïncide avec l'axe de révolution. Il en résulte que de ‘toutes les surfaces de révolution la sphère est celle qui sous une étendue superficielle donnée renferme le plus grand volume.

111. Dans le premier cas, le problème présente une circonstance singulière lorsque les points donnés A et: B entre lesquels il faut mener la courbe, sont situés sur l'axe même des x, c’est-à-dire lorsqu'il s’agit simplement de construire sur une base donnée AB une courbe telle, que l’aire de la surface engendrée par sa révolution autour de la droite AB étant donnée, le volume contenu soit un maximum. En effet, puisque alors la valeur y — o des deux ordonnées extrêmes doit vérifier l'équation générale (1), la constante c sera nulle et cette équation déviendra celle d’un cercle ayant son centre sur l’axe des x. Le solide de révolution serait donc une sphère construite sur le diamètre AB, solution impossible, puisque cette

EN : \ 5 | Su LE É 4 L M à

sphère a une surface déterminée que l’on ne peut pas faire égale à une autre aire donnée.

Ce fait analytique a paru étrange à quelques géomètres, parce que, dans leur opinion, le problème doit évidemment admettre une solution, et ils en ont proposé récemment des interprétations très-différentes. M. Jellett ensconclut simplement que le calcul des variations est en défaut; M. Airy croit lire dans les formules qui renferment la solution du problème que la courbe se compose de deux parties distinctes, à savoir d’une demi-circonférence de rayon convenable pour engendrer l'aire voulue; et d’une portion de l’axe même de révolution. De leur côté, MM. Todhunier et Challis, admettant que la ligne qui doit unir les points À et B se compose d’abord de deux droites, élevées perpendiculairement à Paxe aux points À et B, puis d’une courbe joignant les extrémités de ces droites, arrivent également à donner une courbe discontinue comme solution du problème en question.

Aucune de ces interprétations ne nous paraît complétement satisfaisante. L’impossibilité où l’on est de vérifier toutes les conditions du problème indique nécessairement qu'il n'a pas de solution, et, si l’on se place au point de vue analytique, il n’est nullement étonnant qu'il en soit ainsi. En effet, la courbe en question doit être choisie parmi toutes celles qui font prendre à l'intégrale

Sy Vi+ y" dx une valeur déterminée; or rien n ‘empêche que la courbe soit située en partie au-dessus, en partie au-dessous de l’axe des x, et, par conséquent, que les

éléments de l'intégrale fy V1 +7" dx soient les uns positifs, les autres négatifs ; l’intégrale elle-même sera’alors l'excès de la somme des éléments posiufs sur celle des éléments négatifs, ei chacune de ces sommes pourra croître sans cesse pourvu que leur différence reste constante. Donc aussi, l'intégrale f y? dx dont on cherche

[acts

COURBES PLANES. 22) le maximum et qui n’a que des éléments positifs, pourra croître indéfiniment sans que l'intégrale fy Vi + y? dx change de valeur. De plus, les points A, B étant pris sur l’axe même des x, il est toujours possible de substituer à une courbe quelconque menée entre À et B une autre courbe infiniment voisine tracée entre les mêmes points, et qui donne pour fy*dx une valeur plus grande, tout

en donnant pour fy Vi +y”?dx la même valeur que la première courbe, Il en résulte que l'intégrale fy*dx n’a pas de maximum, si l’on n’écarte pas avant tout les valeurs négatives de l’ordonnée y compatibles avec Îa condition imposée à la seconde intégrale fy Vr+ y"? dx; or cette absence du maximum devait nécessairement se manifester par une solution impossible.

Il est vrai que si l’on ne considère que des courbes situées tout entières d'un côté de l’axe, la génératrice du solide qui, sous une étendue superficielle donnée, renferme le plus grand volume, sera une ligne composée d’une portion de l'axe et d’une demi-circonférence, comme M. Aiïry l’a suggéré; mais ce résultat, facile à vérifier par d’autres considérations, n’est pas proprement une solution du problème analytique dont il a été question.

ProBrèMe VII.

112. Trouver la brachistochrone ou la courbe de plus vite descente entre deux points.

Considérons un point matériel soumis à l’action de la pesanteur et assujetti à se mouvoir Le long d’une courbe quelconque. Prenons pour axe des y la direction de la pesanteur, et soient x, y les coordonnées du point mobile, s l’arc de courbe qu'il décrit, v sa vitesse, £ le temps, g la mesure de la pesanteur ou la vitesse acquise pendant