IV

l’unité de temps dans la chute Hbre, on aura

ds dv y: NEA, RPM ET SC LE el, par conséquent, vdo — gdy.

En intégrant, et désignant par x, y. les coordonnées du point de départ, par x:, y: celles du point d'arrivée du mobile, on obtient

= 2g(ÿ rit)

k étant la hauteur de chute qui correspond à la vitesse initiale. On a d’ailleurs

ds ds 1 VE — 9 Glace is * dt v

substituant à # sa valeur, pour obtenir l’expression du temps employé par le mobile à parcourir sa trajectoire entière depuis le point x,, y, Jusqu'au point x, y», on voit que c’est l’intégrale

4 VE BUT FRA DANEA ANEEUe

qu'il s’agit de rendre minimum.

Comme cette intégrale renferme la valeur limite y, de la fonction y, on aura à suivre la marche indiquée n° 63. Appelons, comme à l'ordinaire, V la fonction multipliée par dx sous le signe intégral, et P, P, ses dérivées partielles prises par rapport à y et y’, la variation de l'intéale sera

F4 "ap *dV ef (ARE à, ar | 200

in (Vôzx + P0»r);

COURBES PLANES. IAE 227 “4 | k. # l" on se rappelle ‘que (n° 30) | DR € VODPR

. x, P ë œ , 4 “ DR | 2 | 971 | (dy + y'dx), = [er +g'd ri), LUE Neal ! de. ë, DS — e-Phe ten [ AV à “ x, di à (V—Py')om + ay: à ai

à) V2 Pi) de Pay.

On a d’ailleurs

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“ db, La(r=n+#y" a ro)

x dx, | 2(Y — Yi+ 7 (+ r")Es

FUN 4 x Le . EL Ê * Cela posé, en égalant à zéro la variation de l’intégrale, on trouve d’abord l'équation indéfinie

qui, mise sous la forme

Lo K ; 1H arm) 0; k

2Y 27'dy" dy

—— = 0 " Tue, ‘ MP A ETES É S intègre tement et donne

+ | (LT OEM 20,

a étant une constante arbitraire. Résolvant par rapport à . 15 2 * *

d VAE y'ou ur il vient 7 dx

Y—Vi + À PRE FRs PER i* Y\ EX 8 Me ATP

Si l’on fait Yÿ—yi+kza(i— coso), ce qui est toujours permis, puisque la quantité y —7, + doit être comprise entre o et 2a, sans quoi le radical deviendrait imaginaire, il viendra dx = a(i — cosw )dw, et, en intégrant,

Æ—X + h—a(w — sin),

h étant une nouvelle constante arbitraire.

Les deux équations simultanées

Z— %, + h—a(v — sine) (1) appartiennent évidemment à une cycloïde qui est par con-

séquent la courbe cherchée. Il serait facile d'éliminer la " variable auxiliaire w et d'exprimer y en x; maïs nous préférons la forme (1), parce qu'elle se prête plus facile-

ment à la discussion ultérieure.

Y—Y+À = a(i — cos)