On tire successivement des équations (1) CA

dx = a(i—cosw)dw, dy = asinodo,

} sin © o ; TE Ÿ = ECOLE OT EM cOSeC TS I — COS 2 2 NES 6) L cosec* — cot — 1 2 2 I V — RER M4) P mu — 9 V rc Pi. ZT ———— 7 L \2.a 2.4 V2 a (0) da 1 me COt — — cot — : dY. 2 2 2 2 De dx = rire SRE EUR" j TEA COTES 2 a se “1 Voasin?—

0), et w, étant les valeurs de w aux deux points extrèmes de la courbe. Par suite de ces relations, les termes aux limites de la variation 98 se simplifient considérablement et deviennent

œo G) d Lo + COL er d Ya 0x. À cot LE 0:

(2) 2 ER RE V2a

Ils disparaissent d'eux-mêmes lorsque les points extrêmes de la courbe sont donnés, puisque alors les variations dy, 0 Xe, dY1, 0 YA sont nulles; mais il reste, pour déterminer les constantes a, h, la condition que la cycloïde doit passer par ces deux points extrêmes. Quant à la con-

stante #, nous avons déjà fait remarquer qu’elle dépend

de la vitesse initiale que nous supposons donnée.

Mais si les extrémités de la trajectoire sont seulement assujetties à se trouver sur deux courbes, déterminées par les équations

n= ah = vx), on aura

dry (x)0z,, dY2— Ÿ'(2) 0%

et les termes (2) égalés à zéro fourniront les deux équa-

tions aux limites

O2 1 + vw (x,)cot Pr AL (3)

1 + d’(x,)cot — ==,0;

qui serviront à déterminer les deux constantes a ei À. En

Ve A œo . 5 éliminant cot —; on trouve la relation simple

g'(æi) Fe ÿ (æ)s

#0 Nils ue "4 OT - ||

exprimant qu'aux entrémités de la trajectoire les deux courbes limites ont leurs tangentes parallèles. Comme on a d’ailleurs en général / : us =, COL J “2

la seconde équation (3) prouve, en outre, que la cycloïde est normale à la seconde courbe limite au point d’arrivée du mobile.

Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver la ligne de plus vite descente entre une courbe AC et une droite BD (fig. 4) situées dans un même plan vertical, et ad-

Fig. 4.

mettons, pour simplifier, que la vitesse initiale soit nulle On prendra pour point de départ le point À où la tangente AT à la courbe est parallèle à la droité BD, et l’on mènera par ce point-une droite horizontale AD, sur laquelle on fera rouler un cercle de rayon convenable pour que la cycloïde ainsi ‘engendrée, ayant son sommet en À, coupe la droite BD sous un angle droit. L’arc AB de cette cycloïde sera la courbe cherchée.

114. Passons maintenant à la variation seconde, et examinons si toutes les conditions de minimum se trouvent réellement remplies. La relation générale entre x et 7

qu'on obtiendrait en éliminant w entre les équations (1), renfermant deux constantes arbitraires a et À, il faut s'assurer d'abord si le rapport des dérivées partielles dy dy da” dh les limites de l'intégrale S, ou lorsque x croît de x, à x. Or, si l’on différentie les équations (1), en y regardant x comme constante et y, w, a, h comme variables, on aura

ne passe pas deux fois par une même valeur entre

dh = (eo x sin w ) da Fm (x Ke cosw)do,

dy = (1 — cosw)da + asinvo do, et, en éliminant do, (1 — cosw) dy — (2 — 2co$sw — w sinw ) da + sinw dh

dE: 0 o, (4) œ sin — dy = 2 | sin — — — cos — | da + cos — dh. 2 2 ta 2 2

Faisant tour à tour dh —0, da — 0, on entire

dy (A) 6) dy 0) =D —cot—- jo — — cot —»

da 2 2 dh F;

et, par suite,

à 3 2(1—Tet?) y dy > co eo — = —— ———.…—.…. … — …—.… —= L VÉRESS ee da” dh 2 ne )?

œo cot —

expression qui croit continuellement de o à + et de

dy, dy :

Le rapport 2e: ne prendra donc pas deux fois une

ou ® entre Oo et 27, c'est-à-dire tant que le point de départ et le point d’arrivée du mobile se trouvent sur une mème branche de cycloïde.

En outre de cette première condition remplie, la dérivée seconde

d?V | L Aie v + # dy”? Tate MAO be OT Eee DE RAT [y — 71 + #) (x + 7°) V2a

est essentiellement positive, et ne devient Jamais infinie; Ja solution (r) donne donc un véritable minimum.