L.3.5. (an-Or
par conséquent à celle du produit
puisque Ton a évidemment
Donc les différents termes de la série en -question offriront des valeurs numériques inférieures à celles des termes correspondants de la progression géométrique qui aurait pour terme général l'expression
or cette progression sera convergente si Ton a
OU
et alors, si l'on remplace la somme de la série par la somme de ses n premiers termes, le reste de la série ou Terreur commise sera inférieure, abstraction faite du signe, à
Supposons en particulier f (x) = x , l'intégrale cherchée deviendra
et le reste de la série comprise dans le second membre de cette équation sera inférieur, abstraction faite du signera
On peut donc énoncer la proposition suivante.
291. Théorème ior. Supposons que la variable t et la fonction x étant liées entre elles par l'équation différentielle <Ix=<f(x)dt, Ton nomme £ une nouvelle valeur delà fonction x correspondante à une nouvelle valeur t de la variable f •, £ sera développable par la formule
en une série convergente ordonnée suivant les puissances T. n. 48
ascendantes de la différence r — t, si Ton a
[EH JT.(r-0<+
la valeur du module r de hê = reB^~* étant assujettie à la seule condition que la fonction <p (x + A,-) reste unie et continue, quel que soit l'angle 0, pour cette valeur et une valeur plus petite. Alors le reste de la série réduite à scs/i premiers termes sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit [E(*J].
Alors aussi une fonction quelconque de £, f(£) sera elle-même développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de t — £, et le reste de cette dernière série sera inférieur, abstraction faite du signe , au produit (Ei), si la valeur du module r est assujettie à la double condition que les deux fonctions f(x -+■ A,-), <f(x -f- hê) demeurent finies et continues quel que soit l'angle 0 pour cette valeur de r et pour une valeur plus petite. Il est avantageux de choisir le module /•de hi de telle sorte que la limite assignée pour le module de t — t devienne la plus grande possible. On y parviendra
en réduisant la quantité L -^-7 — -à la plus petite valeur
qu'elle puisse acquérir.
Pour montrer sur un exemple très-simple une application des formules qui précèdent, concevons que l'équation dx = (f (x) dt se réduit à dx = x* dt, a désignant une constante positive. Si l'on suppose x positif , afin que <p (x) = xa soit toujours réel , l'expression
f{x + hi) = {x + rc^^Y
ne restera continue pour des valeurs fractionnaires ou irrationnelles de l'exposant a qu'autant (pie Ton aura
QUÀRÀNTE-UHIÈME LEÇON. j5ï>
r<J?: on aura alors
La plus petite valeur que puisse acquérir cette dernière quantité, eu égard à la condition r<x, sera , i° ai Ton suppose a < 2, la valeur qui correspond à r=x, savoir, r" x*"1 ; 20 si Ton suppose a > 2, la valeur qui correspond à la formule
Dr- - = o, ou
savoir,
donc, en vertu du théorème premier, Ç et t désignant deux valeurs correspondantes des variables x et t assujetties à vérifier l'équation dx = x*ck9% sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence r — f , tant que la valeur numérique de cette différence restera inférieure à la moitié
du rapport a a l , si Ton a a O } et à la moitié du rap-
2 JC
port — si Ton a a > 2. Or, en eflet, on tire de
l'équation dx = x* dty intégrée directement,
et la puissance [1 — (a — 1)0^"* (t — *)] ' ~~ * sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence r — I, si la valeur numérique de cette différence est inférieure a celle du
rapport -. r ;. D'ailleurs, il est clair que ce dernier
rapport surpassera toujours, abstraction faite du signe, le rapport — — — , et à plus forte raison sa moitié, si Ton
suppose a < 2 ; le rapport — — ~p, et à plus forte raison sa moitié, si Ton suppose a>i. En effet, on aura dans la première hypothèse. M. > 1 > ~ $ et dans la seconde, a" > (1 — aV, — - — > LLZI^lZ-. Donclethéo-
rème premier se vérifie à l'égard de l'équation dx=3?dti et même il résulte de ce qu'on vient de dire que, pour une équation différentielle de cette forme, on obtiendra encore une limite supérieure k la valeur numérique que la différence r — t peut acquérir si à la formule
Af.(T-f) = ±-
on substitue
L<fi(x-h K) '
hi
Cette remarque s'applique pareillement aux équations différentielles
ir=r* dt, dx = c- dt, dx = e~*x dt9 ...,
dont il est facile de calculer directement les intégrales.
292. Concevons à présent que dans le second membre de l'équation dx = Ft A, Ft soijt à la fois fonction de x et de t , en sorte qu'on ait Fj=f (x, t). Alors l'intégrale
QLARAWTE-LNJLME LEÇO&. j5j
sera fournie par la formule
(Ij) \ rt Pe rt"
dans laquelle on aiua
rD/(x) = f(x, »'^ (*), F*D f[x) = f(* , *")/' (»), F£/(.r) = f(x, «")/'(*),..., et, par suite,
www=f(*. of(*. of(*. o/ww
-H f(*f *')[*(*, '") Dîf(*, r-)4-D,f(*, f")D,f(*f r )]/'(*),
D'autre part, comme dans les intégrales définies les variables t\ t'\ *",... devront rester comprises, la première entre les limites r et f , la seconde entre les limites t et t\ la troisième entre les limites t et *",..., il est clair que ces variables resteront toutes comprises entre les limites t et t $ d'où il suit que chacune d'elles pourra être représentée par une expression de la forme t -f- s (t — f), e désignant un nombre renfermé entre les limites o, i. Cela posé , si l'on représente encore par L( la plus grande va-* leur que puisse acquérir le module de la fonction imaginaire f [x + A,, t -f- e (r — *)], lorsque dans //, on fait varier l'angle 0 sans changer la valeur de r, ni celle de vy si d'ailleurs on nomme em celle des valeurs de e pour laquelle le module Lç devient le plus grand possible , et n un nombre entier quelconque , on tirera successivement
^58 ' CALCUL IHTÉGKAL.
de la formule M.W (x) < (— i)* D; (/-')r L< ,
jvj)-f(x( «o < (- wir*)'***
Jf.D;f(x, t") < (- if D- (r-)r£,,
puis de ces dernières formules ou conclura , en désignant par L\m le module maximum maximorum, et par Rj, R,, Ri,... les mêmes fonctions de r que ci-dessus,
A/.FD/(*)< Kr.rL\-.rLf, M.¥*DriS(x) <R,.rZf-.rZ/,
II fallait nécessairement que les coefficients R4, Rt, Riv conservassent les mêmes valeurs que précédemment*, car lorsqu'on réduit la fonction f (x, t) à f(x), les dernières formules doivent coïncider avec celles que nous avons déjà obtenues, et cela arrive effectivement, mais sous la . condition que les valeurs de R,, Rs, R8,. . . restent les mènes dans les deux systèmes de formules. La valeur générale de R„ restant la même , on aura, pour une valeur quelconque de 77,
M.*jyi...*$fW < . .3.5. . .(M -i)r-(z- LJfy,
ou, ce qui revient au même,
WS- • -K /M < « .3.5. . . (» - ,) \l îfe+Vt+sfe^l
Donc le terme général de la série qui donne l'intégrale cherchée offrira une valeur numérique inférieure à celle du produit
..3-5...(«i.-t)( fjx + A,-, «+,,(r-/)}»«
QL'ARAUTK-CJMËME LE^ON. JVg
et, à plus forte raison, à celle du produit
donc enfin la série en question sera convergente si Ton a (d) Af.|a(r-0£ftJ + ^^'^T-^}<,,
et alors, le reste de la série réduite à ses n premiers termes offrira une valeur numérique inférieure au produit
('' -jt.|,(.-^f"^«-,+-('-'a} ''
Il est important d'observer que le module r de A, doit être tel que chacune des fonctions
f [*+-//,, f + «(r-r)j, /(x-t-hi),
demeure finie et continue quel que soit l'angle 0, pour la valeur attribuée à ce module , et pour une valeur plus petite. Il sera d'ailleurs avantageux de choisir ce même module de telle sorte que la limite assignée par la formule (Ct ) à la valeur numérique de r — t soit la plus grande possible. Si l'on pose en particulier f(x) = x, T intégrale deviendra
et le reste de la série comprise dans le second membre de cette formule sera inférieur, abstraction faite du
760 CALCUL UVTÉGftAX.
signe, à
On peut donc énoncer la proposition suivante.
293. ame Théorème. Supposons que la variable t et la fonction x de cette variable étant liées entre elles par l'équation différentielle
dx = f(x, t)dt,
on nomme £ une nouvelle valeur de la fonction x, correspondante h une nouvelle valeur t de la variable f, ( sera développable par la formule [^ O] en série convergente. Si l'équation (Ct) est vérifiée, c'est-à-dire si la valeur numérique do la différence r — t est inférieure à celle que détermine l'équation
la valeur du module r de A, étant assujettie à la seule condition que la fonction f [x + hi9 t + e(r — /)] demeure finie et continue, quel que soit l'an gle 0, pour cette valeur de r et pour une valeur plus petite. Alors le reste de la série réduite à ses n premiers termes sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit [E, ]. Alors aussi une fonction quelconque de £, désignée par f(£ ), sera elle-même développable, par la formule (1',), en une série convergente , et le reste de cette série sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit (E', ), si le module r est assujetti à la double condition que les deux fonctions / {x -4- //, ), f [x -f- //,, t + e (t — *)], demeurent finies, et continues, quel que soit l'angle 0, pour la valeur
QUÀRÀJiTE-UNlfeME LEÇON. 76 1
attribuée à ce module, et pour une valeur plus petite. Pour montrer une application des formules qu'on vient d'établir, concevons que l'équation
dx = f(j:, t)dt se réduise à
dx = [x -+- tydt,
a désignant une quantité positive quelconque. Si Ton suppose x + t positif, afin que î(x + t) soit réelle, et t < t9 la fonction
f|>-+-A„ t+ i(t — t)] = [x + hi + t +t(r — r)]« ne restera continue pour e = o, qu'autant que Ton aura
alors on trouvera
L[x + kt+ (+i(r-r)]'=:[x + r+ï + i(f- f)]a,
et, en nommant tm la valeur de e pour laquelle cette dernière expression devient la plus grande possible, on aura enK= i,
r [*-+- hj -f- t -h tm(r — t)Y (x 4-t -4- r)«
ht r
La plus petite valeur que puisse acquérir cette dernière quantité, eu égard à la condition r < x+ *> sera ce^e <&& correspond àr=jc+^, savoir,
ou celle qui correspond à r = — — - — , savoir ,
* -h * suivant que x -f- 1 sera inférieur ou supérieur à ,
c'est-à-dire , en d'autres termes , suivant que le nombre a sera inférieur ou supérieur à l'expression
Si, pour fixer les idées, on suppose le nombre a inférieur à 2, il sera inférieur, à plus forte raison, à l'expression
2 H , et, en remplaçant dans la formule
le coefficient de t — t par le produit * , on
réduira cette formule à
Cette équation est évidemment vérifiée par une valeur positive de t, comprise entre les limites t = f , t = oo, qui, substituées dans le premier membre, le rendent successivement nul et infini. Il y a plus : comme on a généralement
(ix -h t -f- t)*-*-' — (ix H- 2f)a•4-, a -h 1
= f {2X -f- 1 -h t)" <f T < (r — f) (ix -+- * ■+■ t)- ; il est clair que la valeur de t , propre à vérifier la formule
sera inférieure à celle qui vérifie la condition
c'est-à-dire à la limite
donc elie sera comprise entre t et cette dernière limite , ce qui permettra de la calculer facilement pour chaque système de valeurs attribuées aux variables x et t. Or , pour la valeur de r ainsi déterminée, la série qui donne la valeur de £ ou l'intégrale cherchée deviendra convergente et offrira un reste inférieur, abstraction faite du signe , à l'expression [E'ix)], ou, ce qui revient au même, à
Donc cette série fournira l'intégrale générale de l'équation dx = (x + t)adt, et l'on pourra dire combien de termes on doit conserver dans le second membre de cette formule, pour obtenir la valeur de £ avec un degré donné d'approximation. Ces conclusions subsistent quel que soit le nombre désigné par a. Toutefois, dans le catf où ce nombre devient considérable, il est avantageux de rem- ' placer le coefficient de r — t dans l'expression
(a j? -h t -h tY . , , .
non par -, mais par le produit
En opérant ainsi , on obtient l'équation
764 CALCUL 1ATÉGHAL.
qui fournit une valeur de r inférieure à celle qui vérifie la condition
par conséquent une valeur de r Inférieure à la limite
La valeur de r en question surpassera notablement, si a devient considérable, celle qui vérifierait l'équation
et une valeur plus petite , mais supérieure à ty rendra convergente la série qui donne la valeur de £. Ajoutons que le reste de la même série sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit
[*7 --C-7 (r — 0 (x "+• r)a~1l / (— '>" LJ(x+î±i\
291. Cette détermination des conditions de convergence et des limites de la série qui donne l'intégrale cherchée, peut être facilement étendue à un système quelconque d'équations différentielles entre une variable indépendante t et des fonctions x, y, z,... de ces mêmes variables. En effet, soit f(x, y, s, . . .) une fonction quelconque des variables réelles ou imaginaires or, jr, z, . . . . Soient d'ailleurs X,, jrf-, zh... des variables imaginaires dont les modules soient respectivement r, r\ r",..^ en sorte qu'on ait
QUARANTE-UNIÈME LEÇON. j65
ff, 0", (P,... étant des arcs réels ; et supposons les modules r\ r", r",... choisis de manière que la fonction
reste finie et continue quels que soient les arcs 0\ 0", &",..., pour les valeurs attribuées à ces modules, ou pour des valeurs plus petites ; on tirera successivement de la formule
et, par conséquent,
En désignant par m', m", m",... des nombres entiers quelconques, on tirera pareillement de la formule
i.a...iw' i.a...iw" 1.2... m" „ en posant — py-. r,„ . r,w = K,
puis, en indiquant par la notation Lt la plus grande valeur que puisse acquérir le module de la fonction imaginaire f, lorsque dans Xi, yh **,... on fait varier les
766 CALCUL IWTÉGBÀL.
angles 6', 0", fi-",..., sans changer les modules r', r#, i^v» on aura
Af.D^I. T T *(*,r> *,*•)< -77^- 77^» fMmF • -fr,
ou, ce qui' revient au même ,
M.T>7ji":'+^+' "f{*9 y, *,..*)
<(.l)^^+.«rvv^..D?^!^(rVr...)-«Zf.
Cette dernière formule subsiste lors même que les nombres m', m", m",..., ou quelques-uns d'entre eux, se réduisent à zéro. Il est d'ailleurs une remarque iingprtante , à faire , c'est que , pour obtenir, au signe près, le second membre de la dernière inégalité, il suffit de prendre
f(jp, y, »,...)= — R ,
puis d'effectuer les différent! a tions hidiquées par la notation D';;t;;:B-«-mW+- f(^,J, *,•••)> c'est-à-dire de diflerentier f(#, y, £>•••)' ni fois par rapport à x, m fois par rapport hy, m" fois par rapport à s,..., comme si R désignait une constante ou une quantité indépendante de ces variables, sauf à poser après les différentiations effectuées R = L[ , et hors de la fonction R, x = r , jr=zr', z =rm,
295. Considérons maintenant un système d'équations différentielles de la forme
r£r=F1rff, dy=F2clt, dz=?zdty
Si F1} Ft, Fs,..., sont des fonctions des seules variables x, y, z, . . . , en sorte que Ton ait
QUARANTE-UNIÈME LEÇON. j6j
et qu'on désigne par «=/(ar, j, *v) une nouvelle fonction de ces mûmes variables, une intégrale des équations proposées sera fournie par l'équation
/(g, ,, £,...)=/(*, J, *,...) -f- (r — l)FD/(*f n «,.-)
-^"^Fè/^r,^...)-*-...,
dans laquelle on aura
Fd/(*,.T. ^.-0=^.I>r/4-^D7/H-(p3D,/4-....
Cela posé , il est clair que dans le polynôme représente par F^ f(xf y, z, . • . ), un terme quelconque sera le produit de plusieurs, facteurs égaux ou inégaux, dont chacun coïncidera, soit avec l'une des fonctions f9 fu qpt, (f „ . . . , soit avec Tune de leurs dérivées des divers ordres, prises par rapport à une ou à plusieurs des variables a:, jr, s,...*, et pour obtenir une limite supérieure au module de F£ f(pc,y, **•••)» il suffira évidemment de remplacer chacun des facteurs en question par une limite supérieure à son module, limite que nous avons appris à déterminer. En opérant ainsi, on obtiendra pour limite supérieure au module du polynôme représenté par ^Sffa y> *>•••)» u*1 second polynôme que nous désignerons par A, et qui , en vertu de la remarque précédemment faite, se déduira facilement du premier. En effet, pour avoir, au signe près, la valeur de A, il suffira de chercher ce que devient Ftff (x, y9 *,...) quand on y pose, avant les différentialions relatives à x, y, £>•••»'
f = A, <px= Alf
jcyz... T xy%...
r'r"rm... k r'r"rm...
j6S CALCUL INTÉGRAL.
puis, après les différenciations,
x = r', y =r", *=/•",..., A = Z/, Al = Zyl, Aa = Zyt, A3 = Lyt.
D'autre part, comme on trouvera le polynôme
composé de termes tous positifs, ou tous négatifs, suivant que n sera pair ou impair, il est clair qu'il suffira de multiplier par ( — i)n la valeur trouvée de Fj>f (ar, y9 *»-••)> pour en déduire celle de A. Si, pour abréger, on pose
xyz.
Fn/(^,r, 2,-.)=f (A,Dr/+ AaDjr/H- A3D,/H-. . .),
par suite, 011 aura
A= *mLfi
pourvu que Ton désigne par P„ ce que devient l'expression ( — i)nF'ô p quand on a égard aux remarques que nous avons faites. 11 reste à déterminer r„. Or, si l'on représente par m, y, i*v.. aes fonctions quelconques de x, y, £,...,011 aura évidemment, en vertu des équations qui définissent la fonction Fd/(x, jr, z,..,), et de l'équation
Fd/(«, r,*,...)=P(AiD*/-r-A>D//-r-A3D-/ + ...),
FD (« -f- *' 4- w -H . . . ) = FD m H- FD f -h FD «' H- . . . , Fp .uv = uFqv -+- pFdh,
fAn+l AÏ+1
=~"Pi3,^r^
QUARANTE-UNIÈME LEÇON. j6$
et, par conséquent,
c7a, a, a3 V ./Ai a, a3 \/a; a; à; >
pois on en conclura, en posant hors des fonctions A,,
Af, A,,..., x = r', y = r", s = r",..., et par suite ' p= 1, <A, A. A3 \
, /AJ AJ Aï \
+ a(^5 + pr3-+-p*-+-"J.
les valeurs de A,, Ât, A89... étant déterminées comme nous l'avons dit. D'autre part, comme on aura évidemment
A" Aï A" , ( A, Aa A3 V
on en déduira
J". = -, -f- p + p? -+--. K < 3 (^p + -» + ps +-J ,
'»<i«(p+pî + pi +...),
JJO CALCUL INTÉGRAL.
et, généralement ,
?*<*[p + 7» + ;> -+-... J » N désignant le nlim* dernier terme de la suite
c'est-à-dire la somme des coefficients numériques compris dans le second membre de l'équation qui donnerait F£p. Or, ces coefficients conservant les mêmes valeurs, quel que soit le nombre des variables j?, y, £,•••> îl suffira, pour obtenir le nombre N, de considérer le cas trissimple où Ton aurait
p = -, FD/(«) = AfpD,/(jr);
on trouverait alors
et, comme on tire directement des équations
P = j, FD/(jp) = A,pD,/(*)f (- i)-F-p= i.3.5...(an-i)r-«^Jf
on aura
N = r .3.5. . . (2/1 — i), et, par suite,
Ainsi A, qui représente une limite supérieure au ino-
QLARAKTE-UK1ÈME LEÇON. JJ I
dule de Fd f(x, y, s,...), ne pourra surpasser le second membre de l'inégalité précédente } il en résulte que le
fT An
terme général 3 nFi>f(x, yy z,...)de la série qui
donne l'intégrale cherchée, offrira une valeur numérique inférieure à celle du produit
par conséquent à celle du produit
donc les différents termes de la série en question offriront des valeurs numériques inférieures à celles des termes correspondants de la progression géométrique qui aurait ce dernier produit pour terme général: or, cette progression sera convergente si Ton a
ou, ce qui revient au même, en substituant pour A,, A*, A3,... leurs valeurs,
0 Jf.(r-f)<
L (ptjx-hxj, y+yiy... ) £(P,(.-.) ^ L Qi{...) '
et alors si Ton remplace la somme de la série par la somme de ses //. premiers termes, le reste de la série, ou Terreur commise, sera inférieur, abstraction faite du signe, au reste de la progression géométrique, c'est-à-
77a dire à
,|jt[,(T->)(^ + ^ + ^+.
Si Ton suppose en particulier f (x, y, s,...) = x, la série qui donne l'intégrale devient
Pif)] {=ar+(I^FDx-h tz^I Fèx + (-^l^Fix+.. :
le reste, quand on s'arrêtera au nlèm' terme, offrira un module inférieur a
[e«] Li ^ — îl-i — ^ x (x + kx
On peut donc énoncer la proposition suivante.
296. 3œc Théorème. Supposons que la variable f, et des fonctions x, j, z,... de cette variable, étant liées entre elles par les équations différentielles
dz= <p3 (*, jr, z,. . .)*,
on nomme £, y?, f , . . . de nouvelles valeurs de x, y, z,.... correspondantes à une nouvelle valeur t de t; £, >j, £,... seront développables par la formule [I^] en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la différence r — f, si la valeur numérique de cette différence est inférieure à celle que détermine l'équation
les modules r', r", r",... des expressions imaginaires
étant choisis de manière que les fonctions
demeurent finies et continues , quels que soient les angles ff, 0", Ô", . . . , pour les valeurs attribuées à ces modules, et pour des valeurs plus petites. Alors le reste de chaque série réduite à ses // premiers termes, sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit [E£T,J ou à celui qu'on en déduirait en remplaçant L (x 4- #,) par Tune des quantités L(y-\-y^ L(z + 3, ),.... Alors aussi une fonction quelconque de £, y?, f,..., désignée par y*(£, rj, £, . . .), sera elle-même développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascen*dan tes de r — f, et le reste de cette série sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit (E„), si , pour les valeurs attribuées aux modules r', r", r *,..., ou pour des valeurs plus petites, la fonction
demeure linie et continue aussi bien que les /onctions
fi* ?29 ?8'*«-9 quels que soient d'ailleurs les angles 6\ ft",
297. Si, dans les équations proposées (D), Fi, Ff, F3,... renferment explicitement la variable f, des raisonnements pareils à ceux par lesquels nous avons établi le *me théorème fourniraient, au lieu du 3me théorème, celui que nous allons énoncer.
4me Théorème. Supposons que la variable «, et des fonctions x, jf, z?... de cette variable, étant liées par
les équations différentielles
r/r = ?,(*, j, *,..., f)dr, dy = <p%dt, dz = ftrfi, on nomme Ç, y?, £,... de nouvelles valeurs dex,^, £,..., correspondantes à une nouvelle valeur t de t . Concevons d'ailleurs que m = f (x, jr, z, . . .) étant une fonction quelconque de a:, ^, z, . . . , on pose , pour abréger,
et que Ton désigne par F'Du, F^w, F£w,... ce que devient ¥du quand à la variable t on substitue d'autres
variabl©6 t\ t1 \ tmy Soient encore e', e", £*,... des
nombres inférieurs à l'unité, et supposons les modules r', r", r",... des expressions imaginaires
■*i — r e f ji — r e , zt — r e ?•••»
choisis de manière que chacune des fonctions >,[*-+-*,-, r+r,-, z-hs,,..., /-f-i'(r-f)], *«(..-)> *3(— )i demeure finie et continue, quels que soient les angles 0*, 9", 8*,..., pour les valeurs attribuées à ces modules et pour des valeurs plus petites. Enfin, posons
L indiquant le plus grand module que puisse acquérir chaque fonction quand on fait varier les angles ô\ 0", 6*. sanschanger r', r", r",..., ete'w, e'^, e*,... représentant les valeurs qu'il faut attribuer à e', e", e", pour que chaque module devienne le plus grand possible. £, y;, £,... seront développables en séries convergentes par la formule
? = .r — / ' F^dt' -f- f' f ' F'l)FDxdc"dt'
-/"/" /"F'„I'v;F7,,v/rV/V/'...-h....
cl autres semblables, si la Taleur numérique de r — t est inférieure à celle que détermine l'équation
Alors le reste de chaque série réduite à ses n premiers termes sera inférieur , abstraction faite du signe , au produit [En], ou à celui qu'on obtiendrait en remplaçant L(x+xt) par Tune des quantités L(y +ji)<i L(z + s,),..., les valeurs de An A„ As,... étant toujours déterminées par les mêmes équations. Alors aussi la fonction f (f, rh £,...) sera elle-même développable par la formule
f% -, ç,-)=/(*. y y •v-O-^Fd/I', y, *>...)&.
et le reste de cette série sera inférieur, abstraction faite du signe, au produit (En), si, pour les valeurs attribuées aux modules r', r", r**,..., ou pour des valeurs plus petites, la fonction f (x -f- xh y +y^ * + s,,...) demeure finie et continue aussi bien que les fonctions fl9 yt, (f8,..., quêta que soient d'ailleurs les angles 0 ', 0", 6'*, ....
Dans l'application des 3me et 4"*c théorèmes, il est avantageux de choisir les modules r , r", r*,..., de telle sorte que la limite assignée au module de t — / soit la plus grande possible.
298. Note. On a vu, par ce qui précède, que pour déterminer le reste deê séries qui expriment les intégrales des équations proposées , il fallait chercher la valeur tOT de e, propre à donner la plus grande valeur possible à une expression dépendante do 0, cl que Ton supposait déjà par-
venue à son maximum, par rapport à 0. Cette plus grande valeur , qui conduit à l'expression du reste, est du genre de celles qu'on a appelées maxima maximorum et que M. Cauchy apprend à déterminer dans une petite Note récemment publiée, que Ton sera bien aise de retrouver ici.
Soit x une variable réelle et u =f(x) une fonction réelle de x, qui demeure continue avec sa dérivée seconde f'Xx), du moins entre certaines limites. Les valeurs de x qui, étant comprises entre ces limites, correspondront aux valeurs maxima et minima de la fonction ur seront , comme on sait, celles qui vérifieront l'équation
ou, ce qui revient au même, l'équation
Dx« = o.
On sait encore qu'une racine simple de cette dernière équation fournit un maximum ou un minimum de uy suivant que la valeur correspondante de Dlu est une quantité négative ou positive.
Dans certaines questions il importe de déterminer, non pas tous les maxima ou minima d'une fonction donnée, mais seulement le plus grand de tous les maxima, ou le plus petit de tous les minima, c'est-à-dire, en d'autres termes, le maximum maximorum ou le minimum minimorum; on peut y parvenir dans un grand nombre de cas à l'aide des considérations suivantes :
Concevons que la fonction u renferme , avec la variable jc, un certain paramètre a : il arrivera souvent que pour une valeur particulière de ce paramètre , il sera fa-r cile de reconnaître quelle est celle des racines de Téqua-f tion Dxu = o qui fournit le maximum maximorutn de u. Soient X cette racine, et U la valeur correspondante
de u ou le maximum maximorum; on aura
X étant racine de l'équation
Concevons maintenant que le paramètre a vienne à varier par degrés insensibles : la racine X, qui correspond au maximum maximorum de la fonction m, variera ellemême en général par degrés insensibles , jusqu'à l'instant où l'on aura u = uiy ux désignant un autre maximum correspondant à une autre racine X, de l'équation
par conséquent jusqu'à l'instant où l'équation en u, produite par l'élimination de x entre les formules
ie = o, D,at=ot
acquerra des racines égales. SoitZ7=o cette équation en u ; parmi les valeurs de u qui représenteront des racines égales , se trouveront comprises celles qui correspondront à des racines égales de l'équation
c'est-à-dire à des valeurs de x pour lesquelles se vérifieront simultanément l'équation
Dx« = o, et la suivante
Dia =r o.
Des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage, nous auraient conduit aux mêmes équations
U =z o, Dl« = o,
s'il eût été question de fixer, non plus le maximum
77^ CALCUL MTÉGRAL.
maximorum, mais le minimum minimorum de la fonction u. On peut donc énoncer la proposition suivante :
icr Théorème. Soient x une variable réelle et n = f(x) une fonction de x qui demeure continue, du moins pour des valeurs de x, renfermées entre certaines limites; soit, de plus, X une racine de l'équation
Dxu = o,
qui, étant comprise entre ces limites, fournisse le maximum maximorum ou le minimum minimorum de la fonction u. Si ce paramètre vient à varier , la racine X continuera de correspondre au maximum maximorum ou au minimum minimorum de la fonction 1/, jusqu'au moment où le paramètre a deviendra tel que l'équation U = Oj produite par l'élimination de x entre les formules
u = /(ar), D,w = o,
acquière des racines égales, par conséquent des racines pour lesquelles se vérilic la condition DUU = o. D'ailleurs cette condition sera remplie pour les valeurs de u. correspondantes à des valeurs de x, qui vérifieront nonseulement l' équation
Dx« =r o,
mais encore la suivante
Ditt = o.
En raisonnant de la même manière , on établira généralement la proposition suivante :
2mv Théorème. Soient x,y, s,... des variables réelles, et u = f (.r, y% z,...) une fonction réelle de x, ys 2,... qui demeure continue, du moins pour des valeurs de .r, y, 2,..., renfermées entre certaines limites. Soit de plus x, y, z,... un système de valeurs de x, y, z,... qui, étant comprises entre ces limites, vérifient les équations
qi:arante-i;xuême leçojv. 779
et qui fournissent le maximum maximorum, ou le minimum minimorum de u, pour certaines valeurs particulières d'un ou de plusieurs paramètres a, S, 7,..., conte» nus dans la fonction u. Si ces paramètres viennent à varier, le système des valeurs or = x, y = y, z = z,..., continuera de correspondre au maximum maximorum ou au minimum minimorum de la fonction m, jusqu'au moment où les paramètres deviendront tels que l'équation Z7= o, produite par l'élimination de x,y, £,..., entre la formule
et les suivantes
D, u = o , Dr w = o , Dtu = o , . . . ,
acquière des racines égales, par conséquent des racines pour lesquelles se vérifie la condition DB£/=o. D'ailleurs cette condition sera remplie par les valeurs de 1/, correspondantes à des valeurs de a:, y, s,..., qui vérifieront non-seulement les formules
mais encore la suivante, *> = o, v désignant la fonction alternée que l'on forme avec les termes renfermés dans le tableau m
En sorte que l'on ait, par exemple, quand les variables x, y, z, ... se réduisent à deux,
Note additionnelle.
M. Jacobi a appelé , dans ces derniers temps , l'attention des géomètres sur un théorème très-remarquable de Poisson , lequel , pour certains systèmes d'équations différentielles , permet de déduire les intégrales les unes des autres d'une manière directe , et sans employer des quadratures; de sorte que, dans certains cas, il suffît de connaître deux intégrales pour arriver à toutes les autres. Il nous serait impossible d'exposer ici complètement cette belle théorie de Poisson , rendue plus générale par M. Jacobi ; mais nous pouvons, en terminant ce que nous avons à dire de Y intégration des équations différentielles ordinaires, profiter d'une Note de M. Liouville, pour donner au moins une idée de ce genre de recherches.
Supposons qu'on nous donne à intégrer les quatre équations
Fx = <pDuF, D,u = F, = — pDxF, <pD,F, D,e = F4 = — ?D7F,
dans lesquelles <p désigue une fonction donnée des cinq variables a:, m, y, v> f , et F une fonction des seules variables dépendantes xy u, yy v.
L'expression F=C, C étant une constante, sera évidemment une des intégrales des équations données, car cette équation vérifie évidemment l'équation aux dérivées partielles
DfF+F.DxF +FïDttF-f-F3D;F + F4D,F =0.
Supposons que f = c, f étant une fonction des seules variables x, m, y, ^, soit une seconde intégrale de ces mêmes équations, ou que l'on ait identiquement
(C) DMFDX/— DXFDU/+ D,FD;/- D7FD,/po;
el proposons-nous de trouver les deux autres intégrales
qu'il faut joindre aux précédentes F := C, f = c, pour déterminer complètement x, w, y% v en fonction de la variable indépendante t.
Pour cela , observons d'abord que des deux équations F = C, f = c, on peut tirer les valeurs de deux des inconnues u et v par exemple , en fonction des deux autres, et des constantes arbitraires C, c. En portant ces valeurs dans les équations
D,x = *D„F, Vtjr = <pD,F,
on arrivera à deux équations à deux variables , et pour que f = c soit une de leurs intégrales, il suffira que l'on ait
D, f -h <p (DUF Dxf -h D,F D7f) = o,
ou même plus simplement
Da F D, f -+- D, F D7 f = o ,
si f ne renferme pas la variable indépendante t .
Admettons maintenant, ce que nous démontrerons tout à l'heure , que le binôme udx + vdy soit la différentielle d'une certaine fonction j£ des seules variables xy y : on aura
f(udx+wfy)=:z, u = DxXj » = T>rx.
I\Jais en différent! ant, par rapport à cp dont u et v dépendent, F équation F = C, on trouve
D„FDfM +DrFDfc = o, ou
DaF D,.DC x -+- D,F D7.De^ = o ;
donc l'équation
DBFD,f+D,FD;f=o
sera vérifiée, et f = c sera l'intégrale cherchée, si l'on fait f=Dc^9 et, par conséquent, l'équation D«x = c sera une troisième intégrale des équations (D).
Si (f est une fonction de t seulement, on trouvera aisément «ne quatrième intégrale. DifTérention* en eflet, par rapport àC, l'équation F=C, puis multiplions par y, il Tiendra
— 9 + p(T>uFJ>cu +D,FDC *>) = o ou
— 9 -f- ;(D.FD,.DCX 4- D,FI^.Dcx) = 0;
d'où il suit que l'équation
Drf4- ^(DBFDxf 4- D.FDyf) =0
sera satisfaite par f = Dc ^ — ffdty et que , par conséquent, c étant une constante arbitraire, la dernière intégrale cherchée des équations (D) sera
Mais lorsque <p ne se réduit pas à une simple fonction dc *, on doit se borner à tirer des trois intégrales connues les valeurs de trois des variables dépendantes, uy y, v , par exemple, pour les reporter dans la première des équations données, qui ne sera plus qu'à deux variables, et dont il restera à trouver l'intégrale complète.
Il reste à démontrer que udx -+- vdy est une diflerentielle exacte , ou que Dru = Dxvt Or, des deux équations F = C, f = c, diftérentiées tour à tour par rapport à x et y, en y regardant *i, ^ comme fonctions des deux premières variables, on tire
DxF-+-DI1FDrfH-DtIFDxi'=o, Dx/-hDu/D,«-i-Dr/ Dr< »=o, DrF-|-DuFD/«-hD,FDrP=:o, D//-+-Du/D/u-hDr/DrP=o, Dy/DltF--DM/DrF ^a/^F-jyDrF
*" DU/D,F— D^/D^F' rU DU/D,F— D./D.F*
et ces deux valeurs sont évidemment égales, en vertu de l'équation (C) :
D„FDX/ — DXFD„/+ 0,FD, /— l),FDr/= o.
On prouverait aussi de la même manière que le binôme xdu -\-ydv est une différen tille exacte dty> et la fonction <j; servirait, comme la fonction £, à déterminer les deux dernières intégrales des équations données.
M. Jacobi remarque que cette méthode d'intégration s'applique d'elle-même aux deux équations du second ordre
D?x = — DXR — D,/È, Dix = — PrR — D/ R> qu'on peut remplacer par les quatre suivantes
D,ar=a, Dtu= — D,(R-f-/l), D^=p, D,p= — D7(R4-Jl),
et qui déterminent le mouvement d'un mobile qui se meut dans un plan soumis à des actions DrR, DrjR, fonctions des distances r, r de ce point à deux centres fixes situé»* dans ce plan. Pour faire coïncider ces équations avec les équations (D), il suffit de poser
<p = 1 , F=j(uï + ^,) + R+/l.
FIN DU DEUXIEME \OLlME.
