nr~» = (— 1 )» rD; ï r '-' ; on aura aussi

Jlf.f(-)(^<(-i)FrD;.r-£l.

Cette équation subsistera eacore pour n = o et l'on aura M.((x)<^L(9 comme on aurait pu le conclure directement de l'équation

f(*)=— f9 r(* + *,jrfe.

lie J -~1t

Les équations qui précèdent supposent, comme nous l'avons déjà exprimé, que la fonction

" . î{*+ hi) = î{œ+reVr=~[)

reste finie et continue (M que sjrf^gpour 1* valeur attribuée à r. v* ■ ».

290. Cela posé , régnons à rinfKgrâtfaàri des équations différentielles, et supposons d'abord qu'il s'agisse d'eaprinuçr en série l'intégrale générale d'une seule équation dx=1?tdti dans laquelle Ft*B*]}L = <f(x) est fonction de la seule Variable x. SuJ'on désigne par u =f(x) une nouvelle fonction de x seule f l'intégrale cherchée sera,

75o CALCUgljÉ^G^.

comme nous l'avons vu^jiiâpbée par i'équatipp

a.) /(?)= «=^ï*)* ('-')FD/(*)-f-(-^-,.i»/w

dans laquelle on aura t

. • ' FD/(*)=F,D,/(*)=p(i)D,/£r),

ôû; ce qui revient au même , m> ■:

FD/(*)i= *(*)/'(*); ^

on aura donc

FD/>)=*(x)4'W,

Fô /(x) = [* (x)Y f" W 4- *(x) *' (*)/» (^

f?,/(x)=[^(x)]vww + 3^(x)h'wrw,

De ces équations , jointes aux considérations précédentes, on déduira

M.Y»f{x)<*Lt.rLf .rLp

Mnf{x)<^{rLffy.rL/,

Jf.F4/(*)<E,(ryiiZ/,

Rt , Rt, Rj . . . . étant des fonctions de r déterminées par les équations

— Rf = r— Drr-1,

Ra =(/-')■ D'r r-«+ r-'(Drr-)Drr-',

— R3 = (r-1)3 Dr* r-1 4- 3(/-«)» D, r-' Dr2 r—

-h (r"')» D; r— -f- r— (Dr r—)*D, /-* ,

et la valeur de r devant être telle que chacune des fonctions/(jr + A,), <f(x + hé) demeure finie et continue

*.■[■•'.. , ~ QUARANTE-UNIÈME LEÇOJ*. JOl

pour cette mèmjfc.valeur de r et pour une valeur plus petite. D'ailleurs, les vtSeurs de — R, , R,, — Rs, . . . sont évidemment ce que deviennent les valeurs de FDf(x)r . F&/(j:), Fï)f(x), . . . , «fufnd, après avoir fait

on remplace la variable & par le àrodule r, et il ne pouvait en êtra autrement, puisque dans le second membre lie ta formule

:t M.fC)(x) < (— i Y Vnr i-1 . rLt,

le coefficient du produit rZf est , abstraction faite du signe y » ce que devint { fi-Lx) quand , ajtrës avoir posé f (x)=x"i , ou|iy^itu6^UÈ%n aura généralement» •

$ï.wt>A*)<M'**yrLS''

" \'* (— i)n R„ étant ce que devient la- valeur de Ffc f (x), correspondante aux valeurs de f*t#) >./(#)> données par l'é- ■■■ qaaûon <p (x) =f(x) = x""rv quand on y remplace x par r. Or on tire de l'équation

jointe à la copdition^f (x) = y {x) =ar1,

FÔ/(x) = x-lVx3jr-> = — 3.5jt-7, û ;

Fj/(x) = (— i)" i.3.5...(a/i-i-i)*-(»*+o;

on aura donc

R„ =r i.3.5... (a« — i) /—<"+'), et par conséquent

M.Fîf(*) < i.3.5... (2*-i)>-" (LyYLf.

75a CALCUL INTÉGRAL.

Enfin , comme on a évidemment

on aura aussi

JfJ-D/(*)< ..S.5...M*§J [z^t^]"^

Cela posé , le ténue général de la série qui dfrnne l'intégrale cherchée, savoir, *'

offrira une valeur numérique infériei

du produit