OU

f f(x)dx = (xt — x0)f[x9 4- 6o (*, ~ xo)]

Jx0

-4- (v* — *.)/ [*. -h 6t (x, — *,)]. . . 4- etc. ,

dans laquelle 3?i, xt,..., x„, sont des valeurs quelconques de x, intermédiaires entre xQ, X et 0O, 6t , , des nombres compris, entre o et i . Pour plus de simplicité , on peut , comme nous l'avons déjà dit , supposer les inter-

v ailes Xi — x0, ,r, — xu , égaux entre eux et à#,

on a alors

f{x)dx=z i[f(x0+Qj)-+-f{x0+i+-'Jxi). . . -+-/(X— i+0H ti)}.

Lorsque la f 6nction/*( x) est toujours croissante, ou toujours décroissante depuis x = xQ jusqu'à x = X, le premier membre de l'équation qui précède reste évidemment compris entre les deux sommes

S = i[/(x0) +/(*0 -+- 0 + f(x0+ 2/) + . . . + /(X- i)]% S' = i[/(xQ 4- i) -h/(x0 + ai) + +/(X)]f

et par. conséquent dans cette hypothèse , en prenant la demi-somme de ces deux valeurs , ou l'expression

pour valeur approchée de l'intégrale / f (x)dx, on

J Ko

commet une erreur plus petite que la demi-différence S'-S=±«[|/(X)-i/(*w)].

Exemple : Si Ton suppose

/(*) = — |— , x0 = o, X=i, i = i, on aura

En conséquence, 0,78 est la valeur approchée de l'intégrale / . L'erreur commise dans ce cas ne pourra

pas dépasser ±(\ — J)= ^; elle est effectivement audessous d'un centième.

Si la fonction f(x) n'était pas toujours .croissante ou toujours décroissante, on pourrait, à l'aide de cette

SIXIÈME KOTE. 53

même formule , fX/(x)da:= (Xlf(x)dx+ (*%f{x)dx+... /'* f(x)dx,

• J'o J ro "T% t/.r,,,

la décomposer en plusieurs autres pour chacune desquelles cette condition serait toujours remplie, et Ton pourrait alors calculer, non-seulement des valeurs approchées, mais encore des limites de Terreur commise. 41. Dans tous les cas, lors même que la fonction f(x) serait tantôt croissante et tantôt décroissante, Terreur que Ton commettra en prenant Tune des sommes S et S'

pour valeur de l'intégrale I f(x)dx, est évidemment

inférieure au produit de ni = X — xQ par la plus grande valeur numérique K que puisse obtenir la différence

quand on y suppose jl: comprise entre les limites jc0, X, et Ax entre les limites o et i. En effet on a, par exemple,

/' /(*>fc-S:=i{^^

et par suite

f /(*>fc-S<iX«K = R(i-/.)i

il en résulte encore que si Ton appelle h la plus grande des valeurs numériques de f (x) entre les limites x0, X, Terreur commise sera renfermée entre les limites — *i(X — x0), + W(X — xQ).

On pourra d'ailleurs, comme nous lavons vu, calculer exactement la valeur de l'intégrale définie quand on connaîtra Tintégralc indéfinie, et, dans quelques cas particuliers, lors même queTintégrale indéfinie restera inconnue.