L'intégrale définie / f(x)dx est déterminée par

l'équation

dont on se sert souvent dans la recherche des valeurs approchées des intégrales définies. Pour plus de simplicité on suppose ordinairement que les quantités

Xo9 *t>» • •% xHmmt9 X

forment une progression arithmétique. Dans ce cas , les éléments

Xi — x0i x7 — x19, . ., A. — Xa^i,

sont tous égaux entre eux et à la fraction X — x0

et Ton a

/' f(x)dx = lirai [/(x0) +/(*. + i) + f(Xo -f- ai) -f- . . . + / (X-

SIXIÈMB LEÇOB. 4^

On pourrait aussi supposer que les quantités x0, ;rt , . . . , X forment une progression géométrique dont la raison diffère très peu de l'unité : en adoptant cette hypothèse et

on aura

Xx = Xo(l -+••), Xa=Xs(l -+-«)... X = X*t (l -*-«),

f(*)^ = !im.j*0/(*0)^^

33. Dans plusieurs cas , on peut déduire d& çcg formules, non-seulement des valeurs approchées de l'intégrale définie, mais aussi sa valeur exacte : on trouvera, par exemple,

«fcr=Umi[x0+*oH-«^ («o+X — *)- 1»

, X— x0/ n .. (X— x0)(x0-hX — 0 X»— x\

f a*ax=)hni[ax*+ax*-*-i-hax<>-h*.t . ^-a**^"-1)1]

= lim /<»*• [«*-*. a" ... ■+- aOr-0'] = Km ^#f *xT ' 1 = Um-r^ ^[flX """ *q — »]*

et puisque lim -^ — = -: — ,

* * a* — i la

doù

3°. f x*dx = lim4*0«+»+ *0H-«(, .+.«>+'+. . .+xo-+«(iH[-*)(")W-0 et parce que

-\\np -

i(lH-«)rH l1=s=u,"(fl+,)(I+.)i— fl + l» Jx<

J^dx X

— = lim/t« = 1 —,

car, de l'équation

on tire

/!« = 1 ( — ) — — r, limite = l( — \ \x0)\{\+m) \x0f

34. On peut souvent ramener la détermination d'une intégrale définie à celle d'une intégrale de même espèce : ainsi, de l'équation

J*/(x>**== Hm[(*— ^)/^)+(*,-.*f)/ (*.)+... + (*—*-.)/< ou plus simplement encore de l'équation

, " rX/(*)^=F(X)~F(x0),

dans laquelle F fa) représente la fonction qui a pour différentielle f(x) pu l'intégrale indéfinie

on déduira les suivantes :

f af{x)dx = a f f(x)dxy

f(x + a)dx=\ f(x)dx,

f f(x-a)dx = / f{x)dx$

J!*xo /*X

x f{x)dx = - )xJ{*)dx,

Jo f(X-x)dx = Jx f(x)dx,

35. Toutes ces équations peuvent encore se déduire d'un théorème fondamental qu'on peut énoncer comme il suit : si F on substitue à la variable x une autre variable z déterminée par l'équation

d ou 1 on tire

* = *(*), dx=x'(z)dz, f{x)dx =/[*(*)] *»<&, #

et qu'on appelle zoi Z, les valeurs de z correspondantes à #0, X, on aura toujours

f*A*)d* = f*f[z(z))X'(z)dz = j£ f(.) A,

c'est-à-dire qu'à l'intégrale définie prise par rapport à x, on pourra substituer l'intégrale définie relative à z.

i™ Démonstration. Appelons zt, *'„ . . . , xnm t les valeurs de z correspondantes àxt, arl9 . . . , *«,; en supposant ces valeurs très rapprochées, l'équation

dx ==■ x1 (Z)4Z donnera sensiblement

X — x.., = tf^) (Z — s*.,),

46 CALCUL 1HTÉGEAL.

et par conséquent

I f(x)dx = Iim[ (*f — xQ)/(x0) + (^— *0/(*0-+--+(x— x")/(*-01 !

= lin.{(*f-«o)/[^(,o)]A/(«o)+(«l,I)/t>:(..)]>5'(*0-

ame Démonstration. Représentons par F(x) et F\z) les deux intégrales indéfinies ff(x)dx, fî\z)dz, l'équation

entraînera nécessairement la suivante

car deux fonctions qui ont des différentielles égales ne peuvent différer que par une constante ; or de cette dernière équation , Ton tire

F(X)=F(Z)+C, P(x0) = FW+C,

et par suite

«/*0 J ta

fx0 Jt0

En partant de ce théorème , il suffira * dans les expressions

de faire touf à tour

pour en déduire les équations du numéro précédent.

36. On démontre non moins facilement qu'on peut étendre aux intégrales définies les théorème* déjà démontrés pour les intégrales indéfinies. Ainsi , par exem-

SIXIÈME LEÇON. ' fyj

pie, l'intégrale définie de la somme sera égale à la somme des intégrales indéfinies, c'est-a-dire que Ton

* aura

/•X , x rx rx

' + *(*) + 4M + etc-]<**=J <P{*)d*+\ %{*)dx+] ^(«Jdfc-helc.,

>±«r±...>ùp= f udx±l f vdx^lf wfe~4- etc.,

J J JT© J Xq J X9

H- oc -h cw -h...)rfr = a I uàx -\- b \ vdx -f- c I wrfr-hetc,

t/X0 t/X0 Jxo

• * l/ — i)dx= f udx -\-\S — i I o<£r.

37. Intégrer l'expression f(x)dx à partir de x = x0, c'est comme on l'a déjà dit trouver une fonction continua de x qui ait la double propriété de donner pour différentielle f(x)dx, et de s'évanouir pour x = xQ ; dèslors si l'intégrale indéfinie de f(x)dx se présente sous la forme

l'intégrale définie qui doit s évanouir pour x = xOJ sera nécessai rement

<f>(*) — ?(*.)+ f'xi*)**-

Ainsi, par exemple, l'équation

/■|nfr = uv — fvdu

entraînera nécessairement les suivantes : Ç'udr^if'uf/dxszMv—Ê^Po—l *d* =* m — «o*.— 1 w'dk,

' Xo J *0 J X0 «/ XQ

f arfp= UV — 1*0<\>— I *<*«»

U, V, Uq, v0 étant les valeurs de w, i>, correspondantes à 38. Si Ton suppose

f(x) et j((jc) étant deux fonctions nouvelles qui restent

Tune et l'autre continues entre les limites x0, X , et dont

la seconde conserve toujours le même signe entre ces lî-

•X mites, la valeur de l'intégrale définie f f(x)dxsenàanr

née par l'équation

La suite,1 entre parenthèses, est égale à la somme des quantités de même signe

(*, — xc) x (*o), (*> — *i) % (*i), etc. ,

multipliée par une certaine valeur <p(£) de la fonction 9 (x) moyenne entre les coefficients f (x0), (f(xt)j etc. On aura donc

/ f(x)dx=i>(l))àm[(x1— x0) z(*o)+(*> — *.)*(*.) -f-ete.],

OU

fXf(x)dx= f\(x)x(x)dx = 9(l)f\(x)dx,

£ désignant une valeur de x moyenne entre x0J X. Application. Si Ton prend successivement

SIXIÈME LEÇON. * 4g

on obtiendra les formules

f*f{x)dx =/({) fX dx=(X- *.)/[*. + 6 (X - *.)],

39. Supposons maintenant qu'après avoir divisé la différence X — x0 en un nombre fini d'éléments représentés par Xi — xOJ Xi — xl9 X — x„i, on partage

chacun de ces éléments en plusieurs autres dont les valeurs numériques soient infiniment petites; le produit (xj — XtdfipCo) se trouvera remplacé par une somme de produits semblables qui aura pour limite l'intégrale

1 f(pc)dx \ les produits

(xa — x.) /(*,), . . ■ , ( X — *«.,)/(*„),

seront de même remplacés par des sommes qui auront pour limites respectives les intégrales définies

J x, J xB— ,

et puisque la limite de la somme de plusieurs quantités est égale à la somme de leurs limites , on aura généralement

(X/{x)dx = f *' f{x)dx -+- / **/{x)dx...+ f f(x)dx.

On peut donc toujours décomposer une intégrale définie en plusieurs autres de même forme, mais prises entre d'autres limites. On arriverait encore au même résultat en remarquant que si F(x) -+- C est l'intégrale indéfinie T. ii. 4

JO

CALCUL IATÉflRAL.

Jf(x)dXy on aura fX'f(x)dx=T(xt)-F(x0)9 f'V(x)dx=¥(x,)-F(xl),

d'où l'on tire , en ajoutant,

f *' /(x) dx 4- ("' f (x)dx + . . . + f f(x)dx

= F(X)-F(Xo) = fX/(x)éx.

J Xo

Lorsque entre les limites xQ, X, on interpose une seule valeur de x représentée par £ , on a

/ f{x)dx=\ Ç/(x)dx-hf f{x)dx.

Il est facile de prouver que ces décompositions subsistent dans le cas même où quelques-unes des quantités xu xf, . . ., xn__u £, cessent d'être comprises entre jr0, X, et dans celui où les différences xt — x0, xt — xl9..., X — .Tn-ij £ — xo> X — £, ne seraient plus des quantités de même signe. Admettons, par exemple, que les différences \ — xQ, X — £, soient de signes contraires. Alors, suivant qu'on supposera la valeur xQ comprise entre £ et X, ou bien X compris entre x0 et £, on trouvera

f*/U)dx = f*9f(*)dr + /V(*)rfr , ou

(*f{x)djc = fX/(,)(ir+/'W,

SIXIEME LEÇON. 5l

d'où Ton tirera

)xA*)dx = -J~°f(x)dx +f^f(x)dx,

fX/(x)dx = f*A*)**- f*A*) d*; mais, comme on Fa vu, n° 34,

-f(°f(*)J*=J'*/(x)<ix,

donc , dans tous les cas ,

fX f{x)dx = f*/(x)dx + i%x)dx.

J*o Jx0 J%

40. Ces principes admis , il sera plus facile de calculer exactement, ou du moins à tel degré d'approximation qu'on voudra, une intégrale définie quelconque. Pour avoir dans tous les cas une valeur approchée de l'intégrale définie / f(x)dx, il suffit de reprendre l'équation

fX/(x)dx = fXxf{x)dx+ \'X'f{x)dx+... ÏX f(x)dx,

Jx0 Jx0 Jxt t/.Tn-i