an — a) a 1 «a. 3. . ./i
^%r^*i*=(^^ i)arctang^],
Jo%v-«co.A^»={^^r^--coS[(«+,)«rct«.g£jt
f <?""•» co* bzdz = --.
SIXIÈME flOTE. ôS
Enfin (n° 30) en supposant n pair, ou aura
Jsinnxdx== -'- '—',-£ -=r I cos ".rdlr, o 2.4.O.../1 2 Jo
/ tang\r<ir = -1-. . .zp , ±1 qj:
et en supposant n impair,
Jo i.3.5...(/i — 2J/1 i/o
43, On peut tirer de l'équation
/'X f{x)dx = (*f{x)dx+ f*f(x)dx,
une conséquence importante et qui souvent abrège les calculs. Supposons que £ soit une moyenne arithmétique entre xQ et X, et qu'à partir de cette moyenne , en-deçà et au-delà, la fonction f(x) reprenne des valeurs égales, deux à deux et de môme signe , les deux intégrales
seront aussi égales, et Ton aura'
de sorte qu'il suffira de calculer Tune de ces intégrales et de la doubler pour obtenir l'intégrale donnée
Exemple .
cosxd!a:=:a==2 I cosxeir,
si à partir de x = \ les valeurs de la fonction f (x) étaient égales deux à deux et de signes contraires, les deux intégrales / f(x)dx, f f(x)dx seraient égales aussi, mais de signes contraires, et l'on aurait par conséquent
Exemple :
fXf(x)dx=o.
co&xdx •=. o.
Des intégrales définies dont les valeurs sont infinies ou indéterminées. — Valeurs principales des intégrales indéterminées. — Intégrales défi- ' nies singulières.
44. Dans tout ce qui précède, on a supposé que la fonction y* (a:) demeurait finie et continue entre les li-
f(x)dx a, dans ce
cas , une valeur déterminée, et Ton peut la décomposer en un certain nombre d'intégrales semblables prises entre les limites x0, jct, . . . , xn x , X, au moyen de l'équation
fX/(x)dx= C'lf(x)dx +- [Xif(x)dx-<-... f f(x)dx.
J x* Jx0 Jx, Jxn—i
Si les valeurs interposées se réduisent à deux, l'une très peu différente de x0 et représentée par £Q, l'autre très peu diflérente de X, représentée par £, l'équation précédente devient
fX/(x)dx= f*0Ax)dx+ f*f{*)dx+ f*f(*)dx
Jx0 J*o J?o Jk
t/fo
Si, dans cette dernière formule, on fait converger £n
vers la limite xQ et £ vers la limite X , on en tirera, en passant aux limites, et toujours dans l'hypothèse où la fonction f (x) reste finie et continue ,
fXf(x)dx = lim f(/(x)dx.
Mais quand cette condition cesse d'être remplie, comme aussi quelquefois quand les limites x0, X cessent d'être des quantités finies , on ne peut plus affirmer que l'intégrale définie a une valeur déterminée , et l'on ne saurait
plus quel sens attacher à la notation / f(x)dx.
— , dans laquelle —i x
la fonction sous le signe /, savoir -, devient infinie pour
la valeur particulière x = o comprise entre les limites x== — i , x = + i ; l'équation
/ f(x)dx^l f(x)dx+\ f(x)dx
donnera
/M-i dx r° dx r i dx
et l'intégrale donnée se présentera sous une forme indéterminée.
Pour lever dans ce cas toute incertitude, et rendre à la
notation f f{x)dx une signification claire et précise , .
on convient d'étendre par analogie l'équation
f% f(x)dx= lim f îof[x) dx
au cas où elle ne peut plus être rigoureusement démontrée. Ainsi les intégrales / e*rlx^ / — , dans les-
SEPTIÈME LEÇON. 5g
quelles la fonction f(x) cesse d'être finie et continue pour j = oooujC = o, seront déterminées par les équations
J JV<*r=lim j .V^c=lim(cf — **<>)= e oo «,-«>__ 0D>
I — =hm I — =hml-=-=liml — =00.
Jo x Jf0 X f0 o
Il peut arriver cependant que la valeur de l'intégrale définie soit réellement indéterminée. Pour le prouver, re-
prenons l'intégrale l — . Si l'on désigne par e un nom-
bre infiniment petit , par p et v deux constantes positives mais arbitraires, on aura
£dx Ç—p-tdx Ç* dx /•* dx
I x J — i X Jo x Ji% X
or cette valeur est complètement arbitraire ou indéterminée.
45. Si, lorsque la fonction/ (,r) devient infinie entre les limites x0, X, pour un certain nombre de valeurs particulières , xu x„ . . . , o:m, on désigne par e un nombre infiniment petit, et par (iu v,, fz„ v„ . . . ,{*„„ vm des constantes arbitraires , on aura
fX/(x)dx= f " f[x)dx -f- p f(x)dx+... fX/(x)dx
Jx0 J x0 J xx J*m
=lim[ r~',êf(x)dx+ p"""7(*)*r...+ /* A*)dx\ et si les limites x0, X se trouvent elles-mêmes rempla-
60 CALCLL INTÉGRAL.
cées par — oo et -f- oo,
f'h0>/(x)dx=Um\ f*1 "%/(x)dx+ /"' **/{x)dz...+ P /(*)* L ^u.
p et v désignant deux nouvelles constantes arbitraires.
Les valeurs des intégrales déduites de ces équations pourront d'ailleurs, suivant la nature de la fonction f(x), être ou des quantités finies et déterminées, ou des quantités infinies, ou des quantités indéterminées, qui dépen- " dront des valeurs attribuées aux constantes arbitraires. Si, dans ce dernier cas, on réduit toutes les constantes à l'unité, on aura des valeurs particulières des intégrales
f{x)dx, / f(x)dx,
que M. Cauchy a désignées sous le nom de valeurs principales, et qui sont données par les équations
f*f{x)dx=\im\ fXl~~%f{x)dx+ {X~%f(x)dx.. .+ /* f(x)dx\ •
f*"f(x)dx=}im\ f'^A'^^f'^A^^-^f^ 1/W^i
Exemple : Zéro , ou ce que devient 1 - , quand on fait \k = i, v = i, est la valeur principale de l'intégrale définie / — ; 1- est sa valeur générale.
46. Une intégrale définie relative à x, et prise entre deux limites infiniment rapprochées d'une certaine valeur particulière rt, attribuée à la variable, est sensiblement nulle lorsque, cette valeur étant une quantité finie,
SEPTIÈME LEÇON. 6l
la fonction f(x) reste finie elle-même et continue, dans le voisinage de x = a. Alors en effet l'intégrale définie est égale à la différence infiniment petite des limites de l'intégrale multipliée par une valeur finie de la fonction. Mais la valeur de l'intégrale définie pourra différer .de o et acquérir même une valeur infinie, si a ouf {a) devenait infini.
Dans ce dernier cas l'intégrale est ce que M. Cauchy appelle une intégrale définie singulière, II sera ordinairement facile d'en calculer la valeur.
Supposons d'abord que a soit une quantité finie, mais prise parmi les racines de l'équation f(x) = ± oo, et désignons par f la limite vers laquelle converge le produit (x — à)f(x), tandis que x converge vers a.
L'équation (n° 38)
fX f(x)dx = ( i - «)/(f ) 1 ( J^) .
donnera
J*a — u.% na -+■ i / | \
En effet, la quantité Ç, comprise entre a — e et a — fxe, ou a + V6 et a -+- e , sera sensiblement égale à a, tandis que le produit ( £ — a) /(£) sera égal à (a — a)f{a) ouàf.
Si a devenait infini , on appellerait f la limite vers laquelle converge le produit xf(x), tandis que la variable x converge vers la limite ±: oo, et l'on aurait sensiblement,
vertu de l'équation (n° 38) f*f(x)Jx= £/(£) lQ,
/ % f{x)dx = fl/u, f /(*)*r = fl-.
en
64 CALCUL IHTÉGRÀL.
finie et déterminée; puisque alors la différence A — B étant nulle, A est sensiblement égal à la quantité déterminée B.
Ainsi, pour que la valeur générale de l'intégrale
f(x)dx soit finie et déterminée, il est nécessaire et
il suffit que les intégrales singulières comprises dans la différence A — B, se réduisent à o pour des valeurs infiniment petites de e, quelles que soient d'ailleurs les valeurs finies ou infiniment petites attribuées aux coefficients p, v,pj, vt,. . ., fj^j vm; c'est ce qui arrivera communément lorsque les quantités f, fi, f„. . ., fm seront toutes nulles.
Ces quantités pourraient cependant être nulles sans que les intégrales singulières le fussent aussi. Par exemple,
si l'on prend f(x) = -y-, le produit xf(x) s'évanouira
pour x = o, et cependant l'intégrale définie singulière
/."as = l0 + Ê)
cessera de s'évanouir pour des valeurs infiniment petites de v.
Exemple: Soit =~r une fraction rationnelle. Pour
f(x)dx conserve une valeur finie et
déterminée, il sera nécessaire et il suffira, i° que l'équation F (x) = o n'ait pas de racines réelles $ a° que le degré du dénominateur F(x) surpasse au moins de deux unités le degré du numérateur f(x). En effet, si la première condition est remplie, les facteurs /, ft, ..., fm seront nuls, parce que l'existence de ces produits suppose l'existence de valeurs réelles de x qui rendent infinie la
fonction ~{ ou qui fassent évanouir F(x). Eh vertu de
la seconde condition, f ou lim x ^k-l s'évanouira aussi
puisque xf(x) sera d'un degré inférieur, au moins d'une unité, à F(x).
48. On trouvera facilement, à l'aide de ce qui précède, les intégrales suivantes :
xdx tu /*« xdx
/•»• xdx p ç* xdx
J ,?+â»"" 7' J ix*+a* = °9
/»• (x—a)dx ,/• Ç* (x — a)dx __
A-f-Bl/— i \ . Al/*
ut /., / a — By/^T , A-i-BV/^7 \
J £ \x — m— CV/^7 x — •-+-Cl/— i/
Plus généralement : =^y étant toujours une fonction
rationnelle dont le dénominateur ne puisse s'évanouir pour aucune valeur réelle de x, désignons par
*i=«, + Ctl/— i,xa=«a+Cal/^i etc.,..., xm = *m + Cml/Z~ï. ,
les racines imaginaires de l'équation F(x) = o, dans lesquelles le coefficient de k — i est positif, et par
A, — Bt 1/^-7, A, — Ba t/^7, etc.
les valeurs de la fraction -,7-r correspondantes à ces ra- T. h. . 5
66 CALCLL INTÉGRAL.
cines, l1 équation connue
A^-B^lZ-i
entraînera la suivante
A.-hB,W^— i
J?,i^|^=a(A1-hA1^-....^-AB,)1^4- airfB, h- B,
Le second membre de cette formule cessera de renfermer le facteur arbitraire 1 -, et Ton aura en consécjuence
toutes les fois que la somme A, + A, +. . . + A„ s'évanouira. Or cette condition sera remplie si le degré de F(x) surpasse au moins de deux unités le degré de f(x). En effet, on a
/(*) — aA,(g — «Q+aB.g, aA,(x— «,)-haB,g, aA^x — «,) -+■ aBJ.
P(x) - ~(x - «.)* + «f (*—,)' +•*!'" (* - «-)• -1-CL
f(xl [aA.(x-«I)+aB,ei][(x-a,)'+e'][(x-,3)'+C;]-[(j;— «-j'+C)
f» ~ [(* - -.)* + cj] [(« - .,)• +c\]..[(x- -.)• +CÏ]
et am étant le degré du dénominateur, le numérateur aérait du degré im — i si le coefficient de xtm~\ savoir, a(A, -+- A,-+-. . . + Am), n'était pas nul. Il faut donc absolument que cette somme soit nulle si le degré du dénominateur surpasse au moins de deux unités le degré, du numérateur, etc.
— oo x^~ r~ 1 dans laquelle netm<» sont deux nombres entiers : ici
-7-~ = : toutes les racines de l'équation
F(ar) = *" -+- 1 = o,
dans lesquelles le coefficient de k — i est positif, sont comprises dans la formule
* -+-C\S — i =cos WH-K — « sm- *■,
271 in
dont on les déduira, en donnant à ai •+- 1 toutes les valeurs impaires comprises entre o et 27*. La valeur générale de
F'(« -H- C l/— 1 ) 2/?(* -f- C l/IT7>— '
cos(2A:-hi)-ir-f-W/-^ï"sin(2A-f-i) - w , 1 v '/i v /?
COS(2*-+-l) W-\- K — ISUÏ(2/ -h O »tT
en posant
2JW-J-1 ., . 2IW — 2/1-1-1
= a ; a où = a — 1 ,
et se rappelant que pour diviser Tune par l'autre deux expressions imaginaires de la forme cosp + \S — 1 sinj;, cosy -f- k— ï sin^, il suffit de retrancher les arcs, on trouvera
A— BI/—I ' = — [cos(a — 1) (îHi)ir+|/- ïsin(a — 1) (a* H-i)r],
= [cos«(2*-|-i)jr-f- V— 1 siim(2X -j- 1)
d'où
CALCUL IHTÉGftAL.
A= coê*(a*-hiW, B= — ttn«(iA-|-i)v,
ma* sin3air
iin(an— i)éwr
et puisque dans l'hypothèse admise , .le degré du dénominateur surpasse de plus de deux unités le degré du rateur, on aura
co x**dx
:air(B,-+-BaH -+-B»)
2ir
= — [siniir-t-8in3flir -h. . .-f- sin(an — i)«r]-
On peut calculer facilement la somme qui forme le second membre. En effet, les équations
co^+l/HTsin* = ^|/^7, cos 3# •+• l/^7sin 3* = r30 *//=:î etc. , donneront
>0+cos3*+cos50...H-cos(2/i — i)*]-*-»/— 7[8in0-hsin3*-f- «iSU
dans le cas que nous examinons,
9 = air = *■>
et par conséquent
on a d'ailleurs
^«lA-i^, ce)/-i^e-oi/-
/=T l?-ew/-.
-ev/=T
'xK/ — isin0 2K— isina*
donc
4-cos3fl»,..--Hcos(a/i — \]av-\-l/ — i[sma*4rsin3as-...-4-8in(2Jt — i)<**]
cosflîr-f- cos3ajr + * . . cos(2/? — i)a*- = o, sinas- + sin3ajr + • . . sin(2/i — iW = -s *
asm — : «■
on en conclut , en posant z = xtn,
f*f~ldz foo x2mdx /"•» x*mdx w
f^f-ifa p<x x^dx /*» xkmdx = a»| = /i / = —
— isinûir
am+ 1 sin w
sin a*-'
En réduisant de même chaque intégrale indéterminée à sa valeur principale , on trouvera
-~^==-[sinaflîr-f-sin4«3r..--f-sin(2/i — a)**l * l — dr* ji
J*oo zm^ldz pco x*mdx P°° = 2« / .==«/ o I — * ,/0 1 — **" J— 00 1
/ztanga*- am -Hi
«tang r
00 x"*dx w
-x** tanga*-'
7« . CALCirt IBTÉ6IUL.
Déterminatiou d'une intégrale définie, i° à l'aide de l'intégration par séries; a° à Paide de' la différentiation ou de l'intégration souV le •igné y. — Propriétés fondamentales de la fonction r.
50. Lorsqu'on ne peut obtenir une intégrale définie par les moyens indiqués, on a recours à deux autres procédés, dont l'un est l'intégration par séries , l'autre la différentiation ou l'intégration sous le signe f, par rapport à une constante arbitraire ou à une seconde variable distincte de la variable indépendante.
L'intégration par série repose sur ce théorème fondamental : supposons que les deux limites x0, X étant des quantités finies, la périe
dont les différents termes sont , entre les limites x0, X,* des fonctions continues de la variable x, soit convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les mêmes limites, la série
JfX /*X #»X /»X
i«orfr, / utdx, I M*,..., I umdx,
sera elle-même convergente , et si S est la somme de la première série , la seconde aura pour somme / Sdx.
HUITIEME LEÇON. Jl
En d'autres termes, l'équation
S = m0 -f- «h 4- u% -h . . . . etc.
entraînera la suivante
$dx= J uQdx-}-f utdx-h ! utdx + etc. x„ J x© Jx0 Jx0
Démonstration. Soit S„ = n0 + ut + w, ... + w„t la somme des n premiers termes de la première série, et rn le reste , à partir du nii,ne terme , on aura
S = Sn-hrn = u0 4- ", H- «a -h. . . Un j '-+- rny
J Sdr= I u0dx-\- f uxdx -h... / tt„i<£r4- / ^dlr.
» 'x0 i/Xo • '*o J xo J *q
/»X Or, l'intégrale I r,4<ir est une valeur particulière du pro-
duit r„(X — x0), correspondante à une valeur de x comprise entre les limites x0, X ; donc , puisque le reste rn décroît indéfiniment à mesure que n augmente , il en
,-X sera de même de l'intégrale f rndx, et l'on aura
/X r\ rx
f Sdx = I Uodx 4- / utdx -+-.... etc.
i'x0 Jx0 J xa
Si dans cette formule on remplace X par x, on obtiendra les suivantes
f*x /»x rx
I Sdr= j u0dx -f- J M.tfa-f-...,
V X<> «/ Xq %J Xq
j Sdr = f u0dx -f- j uxdx H- j u%dx -+-... H- C.
51. On démontrerait facilement que les équations cidessus établies subsistent encore lors même que la première série, d'abord convergente entre les limites .r0,X, deviendrait divergente pour Tune de ces limites ou pour
JT2 CALCUL INTÉGRAL.
toutes les deux, pourvu toutefois que les intégrales
Ju^dx, f uxdx, etc. ,
forment une série convergente.
Le mode de démonstration consiste à désigner par Ç0, £ deux quantités comprises entre x0, X, pour lesquelles on a , par conséquent ,
/ Sdx = I uQdx -+- I utdx
et que Ton fera ensuite converger, la première vers, la limite a:0, la seconde vers la limite X. Cette remarque s'étend même au cas où les quantités xQ , X deviendraient séparément ou simultanément infinies. Si Ton prend, par exemple, un = anx", an étant un coefficient réel ou imaginaire ; si de plus on désigne par pn la valeur numérique ou le module de a„ , et par A la plus grande valeur que
reçoive l'expression (p„)n quand le nombre n devient infini; la série wQ+wi+ ii| +...= a0 + «î^+^i^+etc.
sera convergente entre les limites jr = , x = -\ — ,
et par conséquent , en laissant la variable x comprise entre ces limites, et posant
S = a0 -h atx H- a*** -h etc.,
on trouvera
Jr»r Sdx = o
a0x -\-al h at — 3 -f- etc.
Cette dernière équation subsistera encore pour les valeurs x= , x=-\ — , si ces valeurs particulières ne
HUITIÈME LEÇON. j5
cessent pas de rendre convergente la série acx -4-T*i*a +.|«3^3
52. A l'aide de ces principes, on pourra développer un grand nombre d'intégrales en séries convergentes qui fourniront des valeurs de ces intégrales aussi approchées que Ton voudra. C'est en cela que consiste l'intégration par séries. On peut même employer avec avantage cette méthode d'intégration pour développer en séries toutes sortes de quantités , et souvent ce qu'il y a de mieux à faire pour y parvenir , c'est d'exprimer les quantités données par des intégrales définies auxquelles on applique ensuite la méthode dont il s'agit.
Exemples : Pour développer en séries les fonctions l(i + x), arc tangx, arc sinx, on aura recours aux formules
1/ x /'* dx fx dx
l(.H-^=^ -j-, arctang*=^ ,
arcsin ,
et comme on trouvera entre les limites x = — i, x = + i,
= i — x-+-x* — etc., = i — x* -t-x* — ...etc..
(i — x*)-* = iH-4x*H-Hx*H-HJx6-|-ete., l'intégration par séries donnera, entre les mêmes limites,
l(i -f-x)=x h-«-— etc., arctangx=x— — 4-^-— etc.,
ix3 i 3 5x7
arcsinx=xH — H — #7.? h etc.
Si dans ces équations on pose x = i , les séries comprises
7 4 CALCUL IMTÉGIAL.
dans les seconds membres resteront convergentes , et Ton aura
l(a) = i— ±-+-j — etc., ^=i — 1+±— etc.,
w ii i 3 i i 3 5 1
53. L'intégration par différentiation s'appuie sur un théorème important dont voici F énoncé.
Pour différentier, par rapport a y, les intégrales
fXf(xfX)dx, fX/(x,x)dx,
il suffit de différentiel* sous le signe I la fonction /(x,j).
Démonstration. En donnant ky un accroissement ùy, et désignant par la notation Ar F accroissement correspondant d'une fonction quelconque de y, par D^ sa dérivée, on trouve
J^X pX /.X
f(x9f)dx=:f /(x,r-f-Ar)dr— I f{xyy)dx x© yx0 Jx0
= f lA**r+àri—f{mty)\4x=:f LTf(x,y)dx; d'où, en divisant par Ay et passant à la limite
et par suite
D,r f(*,jr)dx=f"D,/(x,y)dx9 ou simplement
Il résulte encore de ce théorème que l'équation
ff(x,y)dx=¥(*,y) +C entraîne toujours les suivantes
f ?,/(*, y)** =i>/ F(«, jr), j d; /(*, r)dx = d; f (*, />/*.
Il arrive aussi quelquefois que Ton a besoin de différentier une intégrale définie f f(x,y)dx par rapport aux limites x0, X. Or les équations identiques
Vx(Xf{x,y)dx = /(*, y),
donnent , quand on fait dans la première x = X, et dans la seconde x = x„,
Dx fXAx,y)dx=/(X, y), D,0 fXf(x,y)dx=-/(x0, y).
54. Cela posé, si une intégrale définie ou indéfinie, que Ton sait calculer, renferme , en outre de la variable ' indépendante , une ou plusieurs autres variables ou constantes arbitraires, chaque difi'érentiation nouvelle effectuée par rapport à Tune ou à l'autre de ces variables ou constantes, donnera la valeur d'une nouvelle intégrale que Ton n'obtiendrait peut-être que fort difficilement par d'autres procédés.
Exemples : En différentiant n fois de suite , par rapport à la quantité a, chacune des intégrales
f , / ■- , (e^^dx, le'****,
on trouvera
dx =
d9 ( — — - arc tang \ \/a
\Tm)
da"
.j* , v \ k / i .3.5.. .(an — i)
+* "~ â ~dan "~~ 1m*71 %*
jdx i.3.5... (a* — i) »■
o (i-hx")"+1"" a. 4. 6.. .a» â;
x*é-"dx= ±
55. Souvent aussi l'intégration sous le signe f fait connaître les valeurs de certaines intégrales définies, quoique Ton n'ait aucun moyen d'évaluer les intégrales indéfinies correspondantes. Prouvons d'abord que pour intégrer, par rapport à y et à partir de y = jrQ, les
expressions f f(x, y)dx9 I f(x,y)dx multipliées
par dyy il suffit d'intégrer sous le signe /, et à partir de y =yoy la fonction f{x^ y), multipliée par cette même différentielle, pourvu toutefois que la fonction f (x, y) soit continue par rapport aux deux variables or, y entre les limites des intégrations. Démonstration. De l'équation
D7 fXF(x9X)dx = fXDT¥(x9X)dx on tire, en posant F (x,y) = / f{x,y)dy, I>r f (rA*,y)dxdy = f*f(x,r)dx,
HUITIEME LEÇON. jj
puis en multipliant les deux membres de cette dernière par dy et intégrant par rapport à y, à partir de y = y0, on trouve
f* Ff{*,r)dydx= r Ç* f(xj3)dxdr,
ce qu'il fallait démontrer.
^applications. Gomme on a généralement pour des va-
x/l~'ldx = -, on en conclut, en o A*
multipliant les deux membres par dp, et en intégrant par rapport à y. à partir de fx = v,
/• t x* — x9 dx (*, o \x X 9
Si Von désigne par «, fc, c des quantités positives , une intégration sous le signe f relative à la quantité a, effectuée à partir de a = c , et appliquée aux intégrales définies
f e"tudx = -y f e-**cosbxdx = — - ^—7-, J o a J o a 4- à%
f eT— sin fcr<&r = produira les formules
cos £xdx = t 1
smbxdx = arctang ^ — arctangT,
d'où Ton tire, en posant c = o, a = 00,
f — = od, 1 cos&r — = 00, I «inox — = -.
Jo x ' Jo x Jo x %
56. Lorsque dans une intégrale relative à la variable a;* la fonction sou* le signe / renferme une autre quantité (i dont la valeur est arbitraire, on peut considérer cette *' quantité /ut comme une nouvelle variable , et l'intégrale elle-même comme une fonction de fi. Parmi les fonctions de cette espèce, il faut remarquer celle que M. Legendre a désignée par la lettre T et qui , pour des valeurs positives de u , se trouve définie par l'équation
rM=fXlïï *•
Si Ton pose
d'où
- = e*9 x = e~*, dr = — e~*«fe,
et si Ton remarque que pour x=oona «=», pour x = i , z = o, cette intégrale devient
— f°*u-le->dz= / zr-*e-*dz=r(t*).
La fonction T satisfait évidemment à cette première équation T(i)= i. De plus, comme nous avons trouvé
(n° 42), I zue—dz = i . a • 3 . . . n, on aura évidemment
En remplaçant dans la valeur déjà donnée (n° 42) dès intégrales
, , i .3.3. . .n \~, . A £l zV--cos£*fc = ■ — m— cos| (it-M)arctang- I,
f z ne"at sin bzdz = sin I (/1 -h 1 )arc tang - I ,
. w par /1 — 1 , le produit i.a.3 (n — i) par sa valeur r (n), on aura
rr (n) cos (n arc tang - J z*-**-** co& bzdz = - - ,
tf""* sin bzdz :
* (n) sin f /i arc tang - J
(«• -h ft-f et en changeant z en a* dans l'équation I z'*'l<?~*=r^),
Enfin , de la formule
Ç^a^'dx __ i.2.3...(jh— i)i.2.3...(/» — m — i)
Jo (i-h*)"~~ Tj,3..,(»-i)
on tirera
f* xm~*dx r(m)r{n — m) Jo (i-h*)»"" ~~ r(«)
La formule
f * zr-'e-**dz =
étant vraie, quels que soient le nombre (jl et la quantité a, on pourra y faire tour à tour,
ce qui donnera , en supposant que a et & sont positifs,
./>—>* = jJ^.
et par suite
d'où Ton tire, en multipliant par dx et intégrant par rapport à x, entre les limites o et oo,
Jc*x*~ldx i z1» , r00
o{\+xf r(b)J0 Jo
.""r(*)Jo ^* *x ^"mJo *^e **
Puisque d'après la définition même de la fonction T1, et en supposant aussi & — a positif, on a
T «*^-V-*rfs = r (£ — a), on aura enfin
Jo (T+^")»"~ r(ft) " Si dans cette formule on fait b = i , a ^ , et si l'on
a égard aux équations (n° 49)
J<»*-ldt t^x^dx r* x^dx w , ,
0^Tl = awJo?^7=V^oei;^=^^^, r(,,= ,>
on trouvera
J o »/ — on
GO
on
HUITIÈME LEÇON. 8t
Do cette dernière équation on tire
= fC*e-(>+*)tdx+ f C°e-l*-*rdx=e-'* f <V«,(tf-»»+^»)d^>
et enfin
formule qui sera vraie quelle que soit la valeur réelle de z , et qui le sera encore quand on remplacera z par z \/ — i, ce qui donne
57. La légitimité de ce passage du réel à l'imaginaire, repose sur le théorème suivant, qu'ilest facile de démontrer : si pour les valeurs réelles de z comprises entre les limites — i\ + r, les fonctions f{x, z) et
F(z)=ïSf(x9z)dE
sont développables en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes de z ; si d'ailleurs les sommes de ces séries, quand z devient imaginaire, continuent d être représentées parles notations/^x, s), F(z), l'équation »
subsistera pour les valeurs imaginaires de z dont les modules sont inférieurs à r. Pour démontrer ce théorème, on partirait du principe certain que deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de z , ne peuvent donner la même somme qu'autant que les coefficients des puissances semblables de z sont égaux T. ii. 6
dans les deux séries. De cette égalité ou identité des coefficients, on conclurait immédiatement que si les deux séries demeurent convergentes et fournissent la même somme pour les valeurs réelles de z comprises entre les limites — r, + r, elles rempliront les mêmes conditions pour des valeurs imaginaires de z dont les modules seront inférieurs à r.
L'application de cette remarque au cas traité plus haut est évidente \ les deux fonctions
quelle que soit l'a valeur réelle ou imaginaire de z, sont développables , par la formule de Maclaurin, en séries convergentes $ donc, etc.
M. Legendre a désigné sous le nom d'intégrale eulériennc de seconde espèce, et M. Binet a proposé de représenter par la notation R (a, &), l'intégrale définie
I x^^Çi — x)h~~x dx. Il existe une relation remarquable
outre cette intégrale et l'intégrale eulérienncde première espèce T (a) == / xu~ld~~*ex. Si en eilet dans l'expression / :£""*(! — x)b~~xdx on pose#:= ,011 trouvera
B(a,i) = I ^o, mais quand dans l'équation (n°56)
•oo aia~xdx r(a)r(b — a) , f , .,
; rr = '/iî 011 change b en a + £>, il
vient donc
/• » .v°-'dv __ r(a) r(b)
Jo (i-f-*)"+* r(a + b)' v ' ' r(a-\- ù)
Comparaison des deux valeurs que prend, dans certains cas, une intégrale double quand on intervertit Tordre de l'intégration. — Application de ces principes à la détermination des intégrales définies. — Commenta l'aide de certaines transformations particulières on peut calculer diverses intégrales définies.
58. Il est encore une autre remarque due a M. Cauchy, et qui l'a conduit à la détermination d'un très-grand nombre d'intégrales définies. Des principes établis dans la huitième leçon, il résulte que lorsqu'on a une double intégration à faire, on peut renverser Tordre des intégrations, car on a (n° 55)
/ / f{*,y)*rd*=\ / f(*,y)dxdy. Si Ton pose
les deux fonctions <f{x,y) et y (j,j) seront deux fonctions propres à vérifier l'équation
*fo (■*•> / ) dX. (** y) dy dx '
et l'on trouvera
t/X© J Jo
Cette équation subsiste lorsque les fonctions <p(x, y), X(x> Jf) sont finies et continues entre les limites x0, Xj yQ, Y-, mais elle cesse d'être exacte lorsque ces fonctions deviennent infinies pour un ou plusieurs systèmes de valeurs compris entre les limites dont il s'agit. Alors les expressions obtenues par une double intégration peuvent différer Tune de l'autre et dépendent de l'ordre des intégrations -, mais leur différence peut être facilement calculée. Supposons d'abord que les deux fonctions (f (x,y)* xCr»y) deviennent infinies pour un seul système de valeurs x = a, y = & , et désignons par e un nombre infiniment petit, on aura, en appliquant la formule qui précède,
Ça * [$>(*, Y) — <p{x,yQ))dx + f [<p(x,Y) — <p{x,y0)]dx /Y
Y ■ATo
puis on en conclura, eu faisant converger e vers la limite o,
la valeur de A étant déterminée par la formule -Y
Dans le cas général où les fonctions deviendraient infinies pour un certain nombre de systèmes de valeurs de x et dej, A serait la somme de plusieurs termes de même ibrme.
A = lim I [x(a -4- 1, y) — *(« — «, y)]dy.
Exemple :
ou
*„ = — i, X=i, y0 — — >» Y=i, ou trouvera
a = lim / — = 2t, / = f — =— — 2ît,
ou /M-i /'H-i v* — x% /*-+-* /"-H1 r* — x%
L L w^)>dydx =L L H^ *+—"
Il est facile de voir que les fonctions ç(ar, y), x(x, y) vérifieront les conditions
dy dx
Si Ton a 9(x>jO^+X(x>^)^==/(l0^u> et P*1* su*le
59. Ce que nous venons de dire s'applique encore évidemment au cas où les fonctions /"(x, y\ <j> (#, jr), % (.r, jr) deviennent imaginaires pourvu qu'elles satisfassent toujours aux équations qui précèdent. C'est ce qui arrivera , par exemple , si l'on prend
*(*,r)=W^*'(*4-rV/C:^); on aura alors, en effet.
86 CALCUL IJITÉGRAL.
on aura donc , en posant A=V^7lim/ [F{a+,+x\/=ï)—F(a — i+f\/=ï)]dr
I [F(x + Y\/=ï)-F{x+yn\/^)]dx
Posons
(x — « — 6 \/<Z7)/r(j:) = F (*), j = b -h is, on en déduira
*o = -^, Z = - , dy = tdz, F{x)=-
fl + i-
F^-hi+r1
•li
i(— i -f- zK— i)
A==V/— xlim rZrF[^4-»4-(6 4-»z)V/-i] F[n-,+-(6-J-»s)l/=T Soient maintenant
F^+t+^-ht^y/^TJ y[a— i+(6-i-i3)v/ir7J
X(e), /x(e), et par suite /'(e), f*'(0? a; ^ étant des quantités réelles. Supposons d'ailleurs tpie Y surpasse y0 , et que les fonctions F(x + y\/ — i), ¥\x + yY^ — i) restent finies et continues par rapport aux variables X
et y entre les limites ,r0, X,^0, Y; comme ou aura
A^i)H-l/^/(i)==F'[flH-i-h(A4-i«)l/=r]
js" [a f 4- (b + .») V/=7],
les valeurs de À'(e) et f/(e) resteront toujours très-petites en même temps que e, et il en sera de même de a et de o.' Cela posé, on trouvera
\ = \/— ilim / [a(i)4- V^—îp{i)\dz
Or, si Fou fait
et si Ton remarque que pour e =o, z0 = — oo, Z= + oo, on trouvera
Si Ton avait y0 ■= b ou Y = A, on aurait z0 = o ou Z = o. L'intégrale relative à 2 ne devrait plus être prise qu'entre les limites z = o, z =00; ouz = — 00, z = 0, et par suite, la valeur de A se réduirait à ?rf l/ — 1.
60. Dans tout ce qui précède , a + Al/ — 1 représente une racine de l'équation F{x) = ± oo. Si cette équation admettait plusieurs racines dans lesquelles les parties réelles fussent comprises entre les limites x0, X et les. coefficients de l/—i entre les limites ytt, Y; alors, en désignant par .i,,=tf|+/>il/' — 1, Xt—at-t-bî |/ — 1, etc.
ces mêmes racines, et par f,, f,, etc., les véritables va-»' leurs que reçoivent les produits
(x — xt)F(x) = (x — at — bt \/^\)F{x)9 (*— x,) F(x) = \(x — a% — b, l/^7) F(*)f etc.,
tandis que leurs premiers facteurs convergent vers o , on trouverait
Mais chacun des termes f,, f„... devra être réduit à moitié , toutes les fois que dans la racine correspondante le coefficient de \/ — i coïncidera avec une des limites y0\ Y.
61. Lorsque la fonction f[x + y V* — i ) s'évanouit, i° pour x = ±l oo quel que soit yx a° pour y = oo quel que soit x\ alors, en prenant x0 = — oo, X = + oo, y0 = o, Y = oo, on tirera de l'équation
f [F(x-hYl/-i)- F{x+yv\S=^)]dx = \/=ïÇ [F(X+yl/^) — F(x0+yl/^ï)]dy--à,
j F (x)<ix = '\ = awff, + f, + . . .-*- tiJl/^T*
lu f»? etc., sont des nombres faciles à déterminer-, on pourra donc, dans ce cas , calculer immédiatement la
z1 oc
valeur de l'intégrale définie f F (x)dx.
Lorsque la fonction F(x) se présente sous la forme
™~Y , et que ceux des termes f,, ff ,...., fm qui ne s'éva-
liouissent pas, correspondent à des racines de l'équation
V(x) = o, on a
et par suite
Lf"(x,)^F'(x,) ^' ' *+ F'(x.) J K "
J-obF(*) LF'(*0 F'(^)J
Ou ne doit prendre pour a:,, xu . . ., xm que les racines réelles ou les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de k — i est positif, en ayant soin de réduire à moitié les termes qui correspondent à des racines réelles.
Exemple :
on aura xt = \/ — i,
J— oc I -f-*1 a". F(«r) = i <— jf», jx= — I, j:a = -f-i,
/'" -iî*Ldx = I[f(-,)-f(,)]l/^7;
f(*)=(-*i/=7y*-'; x étant un nombre compris entre o et 2, ou trouvera
o i+jf» ""asiny^r'
QO CALCUL INTÉGRAL.
4». F(*)=I— Jt»,
*'« i — x2 i sin -J fêtr 2 tangy /u*-" En posant
on retrouvera les équations
o i + 2 sin air ' Jo i — « lang «•" '
qui se trouveront ainsi démontrées pour toutes les valeurs de a comprises entre o et i.
En partant de ces principes et s' aidant du calcul des résidus, M. Cauchy est parvenu à établir un grand nombre de formules générales dont on peut déduire presque toutes les intégrales définies connues jusqu'à ce jour, et un grand nombre d'autres.
62. Quelquefois aussi des transformations particulières peuvent conduire à la détermination d'une intégrale définie. Nous en citerons quelques exemples.
xi QO
i°. f c~xtdx. Multiplions par une autre intégrale
J'.oo c^ày, il viendra
ar.QD \t pÇ& g* QC /'OC y.»
e-*tdx) = l c-'ldx\ <rr'<ir=l I r<"+^dxdn o / Jo Jo t/o •/<»
|M)sons
y "— tx 9
d'où
eiy -.--. ,K(ity
NEUVIEME LEÇON. OJ
on aura , pour y = o,
t = o; pour y = oo,
t =<x, et
a oc \* / oo /«ce
éT*V*rJ =j dt j c-W>Èx<Lc.
On a d'ailleurs
(*+'*)*lxdx = l
J/iQO
et par conséquent
/ e-*dx =±\/ï;
a°. / c~atxtcosbxdx. Appelons cette intégrale « : en differentiant par rapporta i, on trouvera
du r °° , • » ,
77 = — I £""atx\rsin0.r*u:; « à J o
mais l'intégration par parties donne
/<?--,x,j:sin&r<ir = — <r-B*x,sinkrH , /<?-*'*•«* bxdx\
d'où Ton déduit, en remarquant que la partie intégrée s'évanouit pour x = o et x = oo,
/•oo f, /»oo £
I e"^*x%x sin tarir = , / *r " fl,xl cos bxdx = — - u ,
./o 2«a Jo 2«*
et par suite
du b du bdb , - tt
—. = u , — = . // = Ce 4" •
db 7.a% u ia* *
on a donc
/* c-m*stcosbxdxs=Ce~îr%.
Pour déterminer la constante, faisons b = o, il vient
Jr*00 * z»00 i J0—
e-**%dx = - I c-*dz = — \/ï, o a Jo *a
et enfin
/ c-^'cos&xrfr = V — * 4*'
Intégrales des divers ordres pour les fonctions d'une seule variabl<\
63. Ce qui précède avait pour but principal de trouver une fonction de x qui eût pour dérivée une autre fonction de x9f(x), et pour différentielle le produit f(x)dx. On donne maintenant, non pas la dérivée première, mais la dérivée de l'ordre n , et l'on demande la valeur générale dey propre à vérifier l'équation
dnY
Solution. En multipliant les deux membres de l'équation par dx , on peut la mettre sous la forme
d'où Ton tire, en intégrant,
ou, ce qui re\ient au même,
(la~lY i'x
multipliant par dx et intégrant une seconde fois, on aurai
Le second membre se ramène facilement à une intégrale simple. En effet, l'équation
D, f* (x — zTf {z)dz = m f* (x — »)F-«/0* donne
Jx0 m Jx0
ou, en multipliant par dxy et intégrant entre les limites
/'* i"(x—%y>-'f{z)dzdx = - f*(x — zff(z) dz + C, Jx0 JxQ mjx0
et en posant m = i
dx
% f* (*J(z)dzdx = r(x-z)f{z)dz H- C9
Jx0 Jx» Jx0
on aura donc
Intégrant de nouveau et plusieurs fois de suite, par rapport à la variable x, on trouvera successivement
3;= fx^z±/{z)dz + cf (fJZfî)! + €%(x - x.) -h c3,
%J xQ 1.2 1.2
dx
,/jr0 1.2.3. ..(/? — l)*7 v ' I.2.3...(/I — l)
fi,!r.3..^rii)+-ft-(*-^
DIXIÈME LEÇOJT. C)T>
C\, C„ Cs, . . . , 6Tn, étant les diverses constantes arbitraires en nombre /* que doit par conséquent renfermer, dans tous les cas , l'intégrale générale de l'équation
dnr
On peut mettre sous une autre forme l'intégrale définie du second membre, à l'aide de l'équation déjà démontrée (n° 33),
/•X — x0 /• X — x„ px
f /(X - x)dx = / /(* +x0)dx = f f{x)dx;
en remplaçant en cflet dans cette équation x par z , et X
(x — — zV1"™1 par x-,/(z) par A___^__ /(z), 0n en tirera
/ o ; ./(*)*= / , / /fr0H-»)rfc
,'r0 1.2.3. ..(/î-l) W Jo I.2.3...(/l-l) v '
= / 5 — t f(x—z)dz.
Si pour plus do simplicité on fait xQ = o, cette dernière équation devient
f {xrzr ,/w*=r /7 — ./(—.)*,
J„ i.2.3. ..(/i — i)yw A i.2.3...(/i — i)yv ' '
et la valeur générale dey se réduit à
> •= r — ï— p-vw* ■+■ c- — ^î — ï
Jo 1.2. 3... (il — l) 1.2. 3... (m l)
Ot. Supposons que F(.r) soit une valeur particulière de v propre à vérifie1!' l'équation
du y
en sorte qu'on ait
