FM

la fonction F (a:) et ses dérivées F*"""1^), F(n""f)(,r),..4 F' (x), devront aussi vérifier les équations

F<«>(x) = rx/(*)*-*-c,

Fl"-»)(x) = f "(x-z)/(s)dz + C. (* — x.) -+- C, ,

«/ jr0 I . 2 1.2

et si, dans le cas où la fonction F(x) et ses dérivées successives restent continues entre les limites jroï x^ on fait dans ces équations xQ = o , on trouvera

C, = F(»"0 (*0), Ca = F (■"»>(*.), . . . , Cn = F(x0),

et par suite

Cette équation subsiste quel que soit jtc, elle sera donc vraie quand on fera x = x0, ce qui donnera

F(*) = F(o)+-F'(o)-h — F"(o)+... ÇZ- F(--»>(o)

65. Lorsqu'on se sert d'intégrales indéfinies et que Ton se contente d'indiquer les intégrations successives, les va-

DIXIEME LEÇON. Xfl

leurs des fonctions

d*-xy d"-*y d"~*y

SâF7' ï?=^, 1HFÎ' "X*

se présentent sons la forme

ff(x)dx, f.ff(x)dxdx, f.f.ff(x)dxdxdx9... Jf-f.fA*)dx...dx.

Ces dernières expressions sont ce que nous appellerons les intégrales du premier, du second, du troisième ordre,..., de Tordre /z, enfin, relativement à la variable x. On les désigne par les notations

Jf{x)dx, fff[x)dx*,Jfff{x)dx*,..., ////.-/ f(x)dx*,

auxquelles on substitue les suivantes

px /■* px px px px

j f(x)dx, / / f{x)dx*,..., / / / f{x)daf,

*'*0 «/X, i/x0 Jx0 J x0 ./x0

quand chaque intégration est effectuée par rapport aux limites x0, x. Cela posé, on aura évidemment

r (*)«/** = / X (x — z)f(z) dz ■+- Ct (x — x0) -h C„

Jx0

En développant le second membre de cette dernière équation et remarquant que les intégrations étant prises par rapport a z, on peut regarder x comme constant, il T. h. 7

viendra

12 Jx0 J*o

■*x px px r0t/ XqJ Xq

ou, ce qui revient au même ,

On peut vérifier facilement cette formule à l'aide de plusieurs intégrations par parties.

On trouvera encore , en remplaçant l'intégrale