M. IN
D'ailleurs la dernière des sommes L, M, N doit évidemment être remplacée par l'unité ; car si , par exemple, on considère seulement trois variables #, y, z, après les deux systèmes d'équations qui ont donné </£, dn, on obtiendra l'équation suivante
dz = D*zdz9 dz —
NrfÇ,
de laquelle on tire
dz rfÇ
Donc, après avoir éliminé toutes les variables x,y, z,. . ., on aura définitivement
t = fff...JJLd(dndZ...dT
= ///. . .Urffr/,^. . r/rZt+Df/oD,./;. . .DT/.,).
Peur obtenir la somme du second membre , il faut permuter de toutes les manières possibles les variables
109. Scolie. Xj y, *,. . ., 5 étant n — i variables fonctions de n — i autres variables £, », £, . . . , <r, on aura, ca vertu de ce qui précède,
dWrrfK...^=2(±DfxD>^DçZ...2)crJ>/Ç^€iÇ...rf«r.
Supposons maintenant que ces mêmes variables x, j% . . . , s •oient fonctions de n autres variables £, 77, £,..., <7, r, tétant lui-même une fonction dépendante de £, >î, £,..., ? déterminée par l'équation
aaa. calcul intégral.
t désignant une nouvelle fonction de £, 3, f , • • • 9 a> T- Dans l'expression
X ( ± D^xD,^ Df a . . . Dr*)
i dp
il faudra remplacer l'un quelconque des facteurs !)#=—
par la somme ^ -+- -j- -7 . En dîfférentiant , par rapport à X, l'équation f = o, on a
i/f dîdr __ <*r __ Dxf
^dr^A ~ °' ^ "" rfA - ~~ Drf'
et par suite
dp dp dr ^ ^ ^ »v ^ D* f
Mais puisque A est fonction de x,y, z, . . . . , f, on aura aussi
D*f = D,fD**-f- DyÎDKx +Rf Dx*+...-f- DrfLV;
en substituant, on trouvera que l'expression dxdtfdz..A doit être remplacée par l'expression
On arrive ainsi au théorème suivant : si les n variable* x, y, ~v«> 1") fonction de n autres variables £, u, Ç,...,t, sont liées entre elles par l'équation
on aura nécessairement
DIY-BUITlfeME LBÇOH. 32$
Exemple : Si les variables £,*,£, > r étaient
liées aux variables x, y, z, , t par /i équations linéaires
Ç n= /i0a: -h bmy 4- r„s -K . . -4- A0 *,
on aurait
dxftydz. . . df .. dçdid£...dr dÇdn...dr
Si de plus
il viendra
<£r</r f&. . f/f dçdtidÇ. . .dr
110. Voici en peu de mots comment procède M. Catalan. Admettons que les variables Ç, y, f, . . . , t sont liées aux variables x,y, s, . . . , * par les n équations
fo=o9 /f = o,.-. ., /L, = of
et supposons que dans S on intègre en premier lieu par rapport à x\ on devra alors regarder j-, z, . . . , £ comme constants dans les équations données , lesquelles renfermeront ?*4- i variables £, rt, f, , t, x, et si l'on
prend £ pour variable indépendante , on aura , pour déterminer dx en fonction de d£, les n équations
22*4 CALCUL INTÉGKÀL.
qu'on peut mettre sous la forme
1 et qui donneront pour </x une valeur de la forme
dx=z— ^dt.
En substituant cette valeur dans S et employant les équations données à éliminer £,)?,£,.'.•, r, S sera exprimé au moyen de n variables jr9 zy . . . , t et £. Si Ton veut maintenant intégrer par rapport kjr, on devrç considérer toutes les autres quantités comme constantes, c'està-dire, en répétant le raisonnement ci-dessus, que <fy sera donnée en fonction des nouvelles variables et de an au moyen des n équations
(*) Vxfodx +brf0dy +D,/0A-f..,4-Dr/o^=o>
DsA-xdx -+- T>Tf*-idy 4- Dr/Li* -h ... H- Vrf^dr = O,
que Ton peut écrire comme il suit
T>sfodx +Dff0dy -+- . - . -h DT f0 d* =— D,/0*,
On déduira de ces équations
</, = --</*; continuant de la même manière , on verra que Ton sera
(*) Quoique dx s'évanouisse avec df, quand on suppose £ constut, on différentie par rapport à x, à cause des variables », f , . . . , t que x renferme implicitement.
enfin conduit à résoudre le système suivant
l>s/odx 4-By/o^r + ..-f-D,/0rff -f-DT/0rfr = o,
D,/Lt^-f- T>7fm x<ty-\ -f-D,/..,* -h Dr./L,A- = o,
que Ton pourra écrire comme il suit
Dsfodx + DTf0dy +... + D,/0^ = — D*f0dr,
V*f^dx + T>yfm tdy+. .. + Vtfl tdt = — Drf*-.,dT,
et qui donnera
dt =r 5ï=î rfr; donc
^rfr*.. *==(--i)- __....
Mais cette expression peut être considérablement simplifiée. En effet, pour obtenir le numérateur Nt, il suffit de remplacer dans la valeur de Dt le coefficient de dy, D7f0, par le coefficient de dmr D„f0, entrant dans la même équation ; il résulte de cette observation et de ce que le dénominateur commun ne change pas quand les seconds membres des équations linéaires varient , que le numérateur N, est égal au dénominateur relatif aux équations
D,k.«*0 -+- D.f..,*, H-...+ DtL,»^ = ,.
Or ce dénominateur est le même que celui du groupe (0, donc
T. ii. i5
On trouverait de même que
N,=D4, N3 = D„..., N^^D..,, donc
*=-£* *=-£* *=-îfe*>
et par suite
dxdydz...dt=(— \Y^-dèdndtl...dT.
111. On peut, à l'aide d'une règle empirique trèssimple, retrouver cette formule de transformation. Observons pour cela que l'on déduit N0 de D0 en remplaçant le coefficient de dx par le coefficient de à\ \ donc puisque le dénominateur commun ne dépend que des coefficients du premier membre , et nullement du second membre, non plus que de la dénomination des inconnues , on peut dire que N0 est le dénominateur commun relatif aux équations
tandis que D„, sera celui qui correspond aux systèmes d'équations
Dsfodx 4-Dy/orfr H- hDt/0dt= i,
bxfn-idx+Vyf^dy -f- ... + Dlt/L« de = i . Différentiez donc chacune des équations
/o = o, /, = o,..., fnmmX = o, en regardant comme indépendantes toutes les variables,
égalez à zéro ou h une constante, la .partie qui dépend des anciennes différentielles ; et à zéro ou a une constante la partie relative aux nouvelles différentielles; vous aurez de la sorte deux groupes de n équations chacun. Dans le premier groupe entreront comme inconnues les différentielles des variables primitives , et dans le second les différentielles des nouvelles variables; si vous désignez par D le dénominateur pour le premier groupe et par A le dénominateur pour le second , vous aurez , pour la formule de transformation cherchée ,
Vdxdydz. . M= ± idïdndÇ. . .dr.
On emploie le double signe au lieu de ( — i)n parce que les dénominateurs D, A pouvant changer de signe sui- ? ant Tordre dans lequel les équations qui servent à les former auront été écrites, il est impossible de décider le signe d'avance. Dans chaque cas particulier l'indétermination cessera. On a d'ailleurs
