Ier Exemple : Considérons l'intégrale double

f f F(*x 4- *\r, S* + C'r)dxdy.

«/ — OC t/ — 00

Si après avoir posé

*x •+• m'y = î, Cr + C> = ,,

et résolu ces équations par rapport à x et à jr9 on substitue à dxdy sa valeur calculée d'après les règles que nous avons données pour le changement de variable indépendante, on trouvera, en désignant par k la valeur absolue

V/(a6' cfçy de la différence «6 ' — a'6,

ou plus simplement

Supposons maintenant que Ton remplace les variables xy y considérées comme représentant des coordonnées-

rectangulaires par les coordonnées polaires r et u à l'aide des formules connues

* = rcosu = ru, y = rsiot* = rv,

il viendra

; F[(*cosa-+-«'sina)/-, (CcosK+C'ftinit)r]/Y/r</if

I /*»*/• * = r I I F(roosa, rùnu)rdrdu,

et en faisant

ir = [(«cosu+ •' tin u)* -h (Ccosit-t-C' aina)*]»,

rot

= t l I /(cos«, sinn^'n/rt/ic . Mais

donc

/ % /*»« -/«cosM-h^sina Ccosp-hCsin u\du

= t / /(cosn, sinu)<fa.

Si Ton supposait les coefficients a, a', g, g' assujettis à vérifier les conditions

•» H- C» = i, «" -f- C'« = i, «*' -h CÇ' = o,

on aurait, par suite ,

à =: i, w = (cos'tt -f- ftin'it)* =:i,

(*) / /(«cosa-f-it'sma, bcosa-h Vinu)du *

= jio /(cowr, ànujdu, j*"f(*v + «'v, ^+f'v)rf« = ^*/(u, v)<fe.

113. ame Exemple : Considérons en second lieu l'intégrale triple

f f F(.x + «'r+«"z, Zc + Cy+S"z, y» + 7>4./*>

"PO «/ — QO </ — 00

Si après avoir posé «* + *'y ■+- ""* = Z> &+C'; + C'a = n, r* + </r +</*=

* = }/{*Z'y" - «CV -h *'C"y-V&y" -h *"£y' — «"Gy*)*,

on calcule dxdydz, on trouvera

Supposons maintenant que dans cette dernière formule on remplace les variables x, y, z considérées comme représentant des coordonnées rectangulaires par des coordonnées polaires r, u, 0, à l'aide des formules connues

x = r cosw, y = r sina cos 0, 2 = r sin it sin 6,

que Ton peut écrire comme il suit

x = vr, y = vr, z = wr ,

en posant, pour abréger,

u — coftft, v = sinw cos0, w = sinit sinô,

DIX-HEUV1ÈME LEÇON. a3l

>D trouvera ,

oc F [(«u 4- m'\-{- «"w)r, (Cu 4- C v-f- C"w)r, (yu + y' v-+- y" w)r]r» sin iufafi«

= 7 /' / / F(ur, vr, wr)r* sin «rfr </«<#. Si d'ailleurs dans cette formule on prend

F(*, ,,.)=* «-/(?, £, ï); alors, en ayant égard à l'équation