f r*e~Tdr=z 1, et posant, pour abréger

+ m'y 4- *"w). 4. (ft, + £'v -I- C"w)> 4- (yv 4- y'v 4- y"w)*]* on aura rl* J"*u -f-*'v4-a"w Cu -hCv-t-Cw yu 4-y'v4-y"w"| «in « dud&

o L W ' W ' W J IV3

= t / / /(u, v, w) sin afifad

Si Ton supposait les coefficients a, a, a", 6, 6", 6", 7, y', y" assujettis à vérifier les conditions

«* 4- C* -f- y> = 1, «'»+£'» +y'a = 1, et''» -f- C"M-y"J= 1 ,

««' -f- CC 4- yy' = o,

on aurait, par suite,

k = |, w = l, / /(«, + «' v + «'V, Su 4- C'v 4- Cw, y u 4- y'v 4-y"w) sin k</ik0

a3a CALCUL IKTÉG1AL.

Si les coefficients a, «', a", etc., satisfakaifuit aux trois dernières conditions, alors, en posa&t

P=(*» -t-É'-f-y»)*, //=(^4-C"-fy^, f*=(/»H-^+/»)l,

on trouverait

A- = tf/p", «> = (^u*- -4- pW1 4- p"*w»)i

Si la fonétton/^x, y, z) se réduisait à une fonction /(*) de la seule variable x , ,on aurait simplement

/ / f("cmu + «'sintf cos© + «'/sinasin6)siniu/ii<$

= 2*- I /[(«• -4- *'■ 4- •"a)tcos «] nnodk.

Cette formule a été donnée d'abord par M. Poisson en Si dans l'équation (A) on pose

les valeurs de r, P, Q étant

r = (*»-+- r»4-z*)t, J> ■= &r-h itjr -1- /*, Q = («xa H- */• -+- cz% -4- arfjs-l- a«ar-f- *f*ï% . pour satisfaire aux conditions

*«'+.&' -4-yy' = o,

qui expriment en réalité que les trois nouveaux axes des coordonnées sont perpendiculaires entre eux, il suffifa de prendre, pour a, 6, y, s; a, 6', y', $'} a", 6"». 7*» A trois systèmes de valeurs a, 6, y; 5, choisis de manière à

DIX-HEÛVIEME LEÇON. 233

vérifier les équations

«* -h/Z+ey f*+bC + dy em + dS + cy « C y

et correspondants aux trois racines de l'équation en j,

Alors, en effet, les trois nouveaux plans coordonnés seront parallèles aux trois plans diamétraux principaux 4e ' la surface du second degré

ax* -f- by* -+- ctx -+- *dyz -h 2*aar -f- ^fxy = *,

et par conséquent rectangulaires.

Supposons d'ailleurs que les équations

ax -*-/r 4-«=x, fx -+- ftj -+- <& = y> «» +4r-4-«=«>.

étant résolues par rapport à x9 j, z, donnent

x = ax4-fy-f-ez, y = fx -f- by -f- dz, s=ex -t-dy -t-cz.

Enfin nommons P, Q ce que deviennent P, Q quand on. y remplace x, jr, z par u, v, w, et posons

D = (abc — ad* — £<?» — cf* -f- a^)S

K = (a/i» -f- bit1 -h c/» -4-ad*/+ ae/A -f-aft*)*»,

on tirera de la formule (A)

Considérons le cas particulier où Ton aurait

P = &r, Qs^œ + ^f/1 + «*)]*» P= Aru = Arcosw, Q = (acoss« + 6sina«)}, D = fcl/â, K = Al/â= -7=,

et par suite

a* Ç* r hcosu ~]sin ududQ o»a* r»T /** /Acostfx. sin «4

» *'o Lcos*a-4-& sin*i*)*J ^3 «»3« "^Jo Jo^\\/^ Jcù^wéêV

et en effectuant l'intégration par rapport à 9 ,

/' * r Acosa *1 sin /«/m __ yq» /' « / A cosiA sinaife

o L(aoos'« + ftsiii»«)+J c0*3" ~ b Jo \\7T) oo83« '

de cette dernière équation on tire facilement

r*-r Acosu 1 sinmfo i /»* /AcosuN

<o L(acosaa + ftsin,w)ïJ(acosaa-4-ôsin,a)* b\SïJ o \ l/a )

et l'on en conclurait, en posant cosu = X,

On déduirait, de cette dernière équation, des théorèmes fort remarquables sur la transformation des fonctions elliptiques.

H4. 3mc Exemple : Considérons l'intégrale

qui donne Taire d'une certaine surface courbe

Si aux coordonnées rectangulaires x, y, z on substitue les coordonnées polaires r, m et 0, à l'aide des équations

jF = rcosfi, y = r sin a cosG, :; = rsinwsinfl, l'équation de la surface deviendra

Ffo P> 7) = °>

DIX-NEUVIÈME LBÇON. a35

et Taire curviligne sera déterminée, comme nous l'avons vu, par l'équation

S = ffdm do\/X' H- Y* + Z% dans laquelle

x = /a — y &> Y = *••■ — *ux'v z = **y « — Ve-

On a d'ailleurs

*1 = r^ cosa — r sin**, xg = /-gcostf,

^ = ri sin « cosfl -+- rcosa cosfl,

^ = rj sina cosfl — rshmsmfl,

. zl = r'u sin « sin © -H r cosa sinfl,

a^ = Tj sin a sinfl -H r sin « cosfl,

et par conséquent

X = r* sin u cos 6 -+- rru sin1 a, Y = /rj sinfl — (ri cos « — r sin**)/- sin a cosfl, Z = 77^ cosô H- (r'u cosa — r sin «) r sin m sinfl,

X*+ Y' + Z^r4 [r;1 4- (i* + ri') sin*«]. "

Donc, en faisant

R = Vr's .+.(/■»-+- r*1) sin »a, on trouvera

S = f/Rrdueiï.

Faisons l'application de cette formule très-simple à l'ellipsoïde

a b* r* \/Av> H- Bv> + Cw'

on posant

A = 6JC, B =: rtV", C = «"*% -

u = cos«, v = sinw cosO, w = sina sinfl. \

ru

a36 ; calcul intégral.

On a, dans ce cas ,

-^ g&r (Bcos ait-HC sm *« — A) du u cos I (Au1 -hBv* 4-Cw')î

—flficfC — B) sin'w sin0cosfi

rfl = 5 t

{Au1 -h Bv» -h Gw1)*

et par suite

/a flafeV,[A>cm,u-h(BcosieH-Csigie)»n,tt]

. . (A3c"H-Bava-M>w*)ï R = abcsmu ~ : '-t.

(Au1 -f- Bv* -h Cw*)*

Si Ton veut obtenir la surface entière S de l'ellipsoïde, il faudra intégrer, par rapport à t*, entre les limites o et r, par rapport à 0 entre les limites rc et — w^ on aura donc définitivement

•/— * J o (Au* -+- Bv» -f- Cw*)t

En appelant* N la perpendiculaire abaissée du centre de l'ellipsoïde sur le plan tangent, on a

d'ailleurs

l/Au» -h Bva -4- Cw* =

donc, en substituant ,

* ('* r3 sin u du dB

DIX-fTEUVIÈME LEÇON. ïif

B est facile , comme nous le verrons , de réduire l'intégrale doublé du second membre à une intégrale simple ; niais, pour mieux mettre en évidence certaines propriétés remarquables de l'ellipsoïde , nous lui ferons subir, une nouvelle transformation. Appelons af 6 deux nouveaux angles ou deux nouvelles coordonnées polaires liées aux anciennes x, y, z par les trois formules

x = a cos«, j* = 6 sin«cos£, z = c sin et sinff.

Le point déterminé par ces équations appartiendra éviiemment à F ellipsoïde , car on a

a'cos'a 6*sina*cos*C c* sin*« sina«

on aura d'ailleurs

x'A = — asin«, x'ç= o,

jr'a == b cos« cosC, ^g = — b sin « sin<?,

2^ = c cos« sinC, 3^ = c sin* cos£,

et par conséquent, en posant, pour abréger,

{ = cos«, v = sin* cosC, Ç = sin« sin£, X=6c£sin«, Y = acti sin*, Z = — a6£sin«,

V/X*-hY>-{-Z> = sin* ï/A^-hB^-l-CÇS S=P /'* sin « ii«dCl/Ap -h B** + €£",

les limites des variables a, 6 sont évidemment les mêmes que celles des anciennes coordonnées u et 0.

En désignant toujours par N la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent, on aura

i abc .

V/A^-f-B^-hCÇ»

*a4o CALCUL INTÉGRAI .

riables u ct&, on a

et par conséquent

On tire de cette équation une conséquence fort remar-. quable. Appelons a', J' les deux grands axes de l'ellipse que Ton obtient en coupant l'ellipsoïde par un plan parallèle au plan tangent dont N exprime la distance au centre; d'après les propriétés bien connues de l'ellipsoïde, on a

et par suite

abc = a^'N, N = ^, a b

S=ffa'b'smad*dC,

-m = sm etd«d£ , a b

et , en intégrant entre les limites — 7T, + 7T ; o, 7r,

Cette équation exprime que la somme des éléments superficiels d'un ellipsoïde, divisés respectivement par. les aires des sections diamétrales parallèles aux plans tangent» de ces éléments, est égale à 4* M. Chasles a donné une démonstration purement géométrique de ce théorème. 115. Si pour transformer l'intégrale triple

V z=zfffdxdydz,

on avait recours au système de coordonnées polaires déterminé par les équations

x = rcosff, y = rsinu costf, z = rsinu sinô,

DIX-NEUVIEME LEÇON. *fa *

on trouverait , comme .nous l'avons déjà vu ,

V = fffr*ùnudud$dr,

et, en intégrant entre les limites o et r,

V=±ffr*smudud$;

dans le cas de l'ellipsoïde

on a

(Au»-^-Bv»^-Cw*)*, -

et par conséquent, en intégrant entre les limites — tt, -h 7r, o et 7r, on aura, pour le volume entier de l'ellipsoïde,

r-n /»* alblc* ÙTkududQ

"~ J-* Jo 3(Àua-HBvM-Cw,)*,

ce volume est d'ailleurs, comme nous l'avons vu, égal à \itabC) donc

/« f* 'ùnududQ 4"* 4"" . -« J o (Au* -hBv» -f.Cwa)î "~" ****** ~~ À*B*C*#

On retrouverait de cette manière la valeur de l'intégrale définie du premier membre. On pourrait, au contraire , partir de la valeur déjà connue de cette intégrale pour calculer le volume V = -J Tzabc. Ce volume s'obtient .encore immédiatement à l'aide des nouvelles coordonnées polaires

x = a cos«, y = b sin* cosff, % = c sin* sin£; T. n . 16

04» CALCUL IftTÉGliAL

on trouve en effet

V=r j f " J r*sinudud) = j / / abcûntdmiK =2 $wabc.

116. Considérons, pour quatrième exemple, les mêmes intégrales

V = fffdxdydz,

qui donnent Taire et le volume d'une surface courbe; maié substituons cette fois les coordonnées elliptiques r, p, v aux coordonnées rectangulaires x,jr, z. Désignons parr^j^,^, z^ r\ x'f, y\, z\ les dérivées partielles

de r, Xj y \ Zj prises par rapport à fi et à v, et posons

— r II II -wr ' ' ' ' rm ' I I

on trouvera

S = ffdpd, l/X* -h Y* 4- Z* . En différentiant les équations

r\/ff—1>*\/b% — f*

cV^c* — b*

et posant* pouf abréger,

DIX-FBUYlfcME LEÇON. a43

a aura

r> -f-^>/> , __ /p, -+- /u» rf

bc ' f~~ *c

z = ^fep^ - - ** +r{*- -"■■ • Y = ^-^'-"^ - r("" - *,)]-

Et m , après avoir réduit cet trois expressions au même dénominateur^ on fait la somme des carrés X', Y*, Z*, il viendra

•'J * mnpff

li étant toujours compris entre b et c, et v étant toujours plus petit que A, on obtiendra la huitième partie de l'ellipsoïde à l'aide de l'intégrale définie (*)

Jo J b ▼ mrma

mnpq

(*) Noos donnerons plus bas et avec plut de généralité , dam la 19™* leçon , le moyen de déterminer les limites correspondantes des variables », y y s, r, p et 1. Mous montrerons que les limites o et h pour /*, &et rpour v répondent réellement au cas où Ton veut avoir la huitième

Le cas le plus simple est celui où la surface donnée est une sphère ; le rayon r étant alors constant , on a

et en désignant par S' la surface entière de la sphère, elle sera représentée d'abord par 47rr% et ensuite par huit fois l'intégrale qui précède, intégrale qui, dans ce cas, se réduit à

(fê* — >*)dpd>

b V/V— b* \/b% —,*\/c*—p* \Zc* — »,#

En égalant ces deux valeurs d'une même surface, on trouvera

/• * ç c fcia -— i*)dpdv *

J o J b \Zp* — b*\/b* — ** V/V — p.* \/c* — *a 2

De sorte que l'intégrale définie du premier membre est la huitième partie d'une sphère d'un rayon égal à l'unité. Cette intégrale, donnée d'abord par M. Lamé, a été vérifiée par M. Poisson , et démontrée géométriquement par MM. Chasles et Terquem.