h j'a = (u — \>t)x-\-ivy (u — pt) -h^r

, __ v(a — vt) -h Vf» — «*)» — i-f-<*

vu — t ~\- lS(u -C^-l+P1

dt{\ — y») '

— t -h v\/(ïi~~^'~vt)% — 1 H- 71

Or, puisque uetp sont exprimés en t , le second membre de l'équation qui précède est ramené à la forme F(t)d^ et Ton en déduira la valeur de x en ^ puis , en ayant égard à lé^ relation vdt = du, on trouvera

*dt \/(u — pty — i h- *'

TRENTIEME LEÇON. 465

En substituant, dans cette dernière équation, pour u, sa

valeur -, on obtiendra l'équation de la courbe cherchée.

Cette équation sera algébrique toutes les fois que l'intégrale du second membre pourra s'exprimer par des logarithmes.

Si l'on avait ds = Sdx = f{y\ U u) dx, le même procédé réussirait encore. Dans ce cas, de l'équation

dx dt du du

«" ~~ /' — t ~ \/i h- r'*-TL"~s — u

on pourrait tirer la valeur de y en fonction de t et de u , ou simplement en fonction de f, puisque u lui-même est exprimé au moyen de t , et l'intégrale du second membre de

l'équation 1 x = f , • serait une simple quadrature.

xep Exemple, s = ax+ by, en posant

y = tXy S = UXy

on aura

, du ,

u = a H- bt9 p = — = b9 v — pi = af

1jc = 1C— 1V/i-m>— (a+bty— f*

dt\/a%-{- £»— i .

or,

a*-2aôt-

b* — i __ £ (fr1 — ijittKfl'+P» — i

Cela posé, en substituant à t sa valeur -, on obtiendra l'intégrale cherchée

C1 (^» — 1)7 -habx-4-xi/a*-hb*—i

406 CALCUL IïfTfolAL.

mais, en posant

(b* — \)x + abx — x \/ax -4- b* — i = M, (b* — i)y 4- a£x -f- x V«a H- ** — i = N,

il Tient MN = (i1 — i)[(*r+ fy)% — ^ — j^]; donc, en représentant par C une nouvelle constante , on aura