Lorsque l'équation proposée ne peut pas être réso

lue par rapport à ~- et qu'elle peut l'être par rapport à

/oui, on retombe sur l'une des formes

Dans l'un et l'autre cas , la diûerentiation conduira à une équation différentielle du premier ordre par rapport aux variables x9 y', oujs jr'; en admettant qu'elle tombe dans la catégorie de celles qu'on sait intégrer, il suffira d'éliminer y entre l'intégrale obtenue et la proposée pour avoir l'intégrale cherchée.

46o CALCUL MTÉCHUL,,

tion différentielle proposée. On pourrait auni i simplement qu'en faisant dans l'équation homogène y = tx9 y et x disparaîtraient; l'équation résultante

donnerait la valeur de -£ = y ' en t. Comme on a d'ailleurs dy = tdx -+- xdt = j/dx^ on aura aussi dx __ dt

équation dans laquelle les variables sont séparées, puisque y' s'exprime en fonction de t seul ; on en tirera

On emploiera l'une ou l'autre des deux intégrales

/dt Ç dy'

s -s J yzn>

suivant qu'il sera plus facile d'obtenir la valeur dey' en t

ou la valeur de t en y'. Si l'expression / — est inté-

grable à l'aide de logarithmes , ou si l'on a

sa-.-"*

on aura \x=\C + lu, x=Cu. y=Ctu\ y'strz exprimé algébriquement en x.

Exemples: i°. ydx— x\Zdy* + dx% = o,

ou y — x \Si -h y* = o \ et en posant y = tx ,

t =Vy

TRBltTlèKB LEÇON. 46 1

= — 1(* — rO — / V' (r ' + Vi +/1 )>

D'ailleurs y = t x = x\/\ +y*.

a°. ^d[r — x^K = nx \/dx% + dy%, on trouvera

si * = i, /■-h**=aC*; si/i= i, s" = o, xM-/M-aC* = o.

486. À l'aide des considérations qui précèdent, on peut résoudre divers problèmes intéressants. Nous en donnerons quelques exemples :

I. Trouver l'équation d'une courbe telle que Tare s soit exprimé en fonction de x et de y par la relation

5* = axjry d'où Vdx* + dy%= y jr-L ,et en posant

r' — * = — (» — r') (i — y' •+• Wi + ymh

donc

Mais en posant ty' = , on a

CALCUL MTtoAAL.

et par suite

on a d'ailleurs

(l-fu)(i — a« — g»)(i+ii){> — (i-f-»)*]

j-~l— ZZ — — >

lu

aa

<£r «fc

x ~~ f — t' et par conséquent

d/ dx dy' dl __d{y' — t)

dx __ dy d(y-t)

donc, en substituant, on trouvera

Ka K a— i—»

et en ayant égard aux équations

TRENTIÈME LEÇOH. 4^3

telle est donc l'équation cherchée. On y arriverait plus facilement en procédant comme il suit : on a

r + / = l/a/(i +/'*), *> -+- *ty' -+- /'» = 2/ -+- **/*> d'où

posons * = p% il Tiendra

/</* __ i Ç id» i 1 4-^

et par suite

et & cause de t = -,

x = & (^* - v^y1 etc

CALCUL IHTÉORAL.

Ce même procédé d'intégration réussira toute les fois que Tare s sera une fonction homogène des variables x et/. Posons en effet y = tx, s = uoe; en substituant ces valeurs dans l'équation homogène 9 (x, yy s) = o, x sen éliminé , et il restera une équation entre fétu qui permettra d'exprimer u en t. On a d'ailleurs

djr= jr'dx, jr'dx=z tdx + xdi,

ds = dx\/

donc

dx

dt

: udx H- xdu ,

<fo

puisque u est exprimé en t, faisons du = vdt, il viendra