Dans le dernier cahier du Journal de Crelle
TBJBKTE-UlflEME LEÇON. 477
M. Jacobi a donné l'intégrale, générale de l'équation
(A -h A'* 4- k'y){xdy — ydx) — (B4- B'j+B^rf/
-4- (C -4- Cx -f-C* /) dx = o,
qui renferme, comme cas particulier , l'équation
ydx{c+nx) — dy ( y 4- a 4- 6 j? 4- «**) = o, ou nx(xdy — j<£r) — (a 4- bx -hy)dy 4- r^dk =o,
traitée très-élégamment par Euler dans le premier volume de ses Institutions de calcul intégral , page 345. Nous croyons devoir reproduire ici la méthode suivie par l'illustre géomètre de Kœnigsberg , parce que ,nous n'en doutons pas, elle sera aussi féconde qu'elle est ingénieuse. Posons
«* + *'* + c*r a' + Vx + fy
If — — o — — » *
a -+- bx 4- cy ' a -hbx-\- cy '
et faisons , pour abréger, z == a -f- bx + cy,
«=*V — ftV, *!=zb"c—bc", «"z=bc'—b'cy C=«V—«Vf Ç=d'a—ca\ i«=ca' — c'a, y=za'b*—a"b', */=a'fb—ab'\ y" = ab'—a'b9 *s«(ftV — *V)+ b (cta" — c"a') + c(a'b"—a"b')9
on trouvera
M + c/ = o, a*" 4- *C 4- cy" = o, «V 4- *«' 4- «V = /,
W + ^/ss o, «V 4- b'V +cW = o, flY+W H- cV= o;
rtf« =4- *"{xdy — /rfr) — Crfj + /«**, *»<*» = — a' (x<(r — /<**) 4- b'dy — y'<£r.
Si dans l'équation proposée on substituait, pour ar, y, dx9 djr, leurs valeurs en u, p, #/i/, dv, elle deviendrait
M*fo 4- Tldv = 0,
ou, en mettant pour du, dv leurs valeurs,
t — •nX){xdy - jrfrj - (CM - CR)4r 4. (r"M - y'N)<£r = o.
47& CALCUL IKTAgRAL.
Comparons cette dernière équation , multipliée par m , avec l'équation proposée, et disposons d'une indéterminées', de telle sorte que Ton ait
j(*"M — «'N) -4- S' ss A -f- A'x -f. A">, z(S"M — C'N) -h S'* = B + F* -f- B".r,
*(y"M — ^N) + S';=C + P*+ CTy.
En ayant égard aux équations qui lient entre eux les coefficients a, a , a", . . . , a, a', a", .... , etc. , on tirera de ces dernières
S' (« + ** 4- cj) = À* H- B* +Cc + {k'a + Wb + Cc)x-t-(Kmm+Vb+i
+ (AV + B'»'+( — *«4.SV,+*,,*4-^) = A«w4-B^H-(^4-(AV4-B/^+C'0x
-+-(AV+BV + C
Or , on satisfera à ces trois équations si Ton a
— JN = (S" — S') u, ÏM = (S" — S>, (A— S')* -+-B6 +Cc =o,A'a -h(B'— S'}4 +C'c =o,A!'a +B"* -HC-ff] (A— S")^ +B6' +Q/=ofAV +(B'— S")6' +CV =o,AV H-B^'-H^-*] (A— S>"+B4''+C^=o,AV-f-(B'-- S>''+CV'=o,A/'<i"+B''r4^C*--S']
et, pour que ces dernières équations soient satisfaites, il suffit évidemment qu'après avoir pris pour Sr, S*, S* les trois racines de l'équation
(A — S)(B' — S) [C — S) — B"C'( A — S) — CÀ"(B' — S) — A^C-Si
-f- A'B'C + A'BCrr
on en tire les valeurs des rapports-, -, -7, — ,, etc., ce
qui est toujours très-facile.
Cela posé, l'équation Mdu + Nrff = o, identique avec la proposée, devient
(S* — S') vdu — (S" — S')udv = o,
cl a pour intégrale générale
ou
bx 4- cyf - S >' + Vx 4- dyf " V + h"* + C»S' " S" = C. On arrive, de cette manière, à la proposition suivante : Etant donnée l'équation différentielle
(A + A'i + A'» (xdy - jrdlr) — (B 4- B'x 4- B'» rfr
