DEUXIÈME LEÇON

Règles de la difierentiation des expressions définies. — Dérivées des expressions définies par substitution. — Dérivées des intégrales définies,— Dérivées des expressions définies mixtes. — Intégration par parties des expressions définies mixtes.

8. Premier cas. — Expressions définies par substitution. — Supposons d^aboid que V renferme les seules variables X cl x, ou que l'on ait V =zfi^x.^ xj-, rexpressioii

dépendra du seul paranièlre x, el il s'agit de. la dilï'érenlier par rapport à lui. On aura évideinmeul

el, d'après la <'onvenlion admise.

dyj ~~ f \<iy ~^7/r <ly. ]'

On hoiiverail de ménie

d [\V'(d^ ^/V dx\

EXPRESSIONS Défîmes. 43

el, en retranchant de celte équation la précédente,

j c'est-à-dire que pour obtenir la. dérivée de / v, / v / \

\ par rapport à >c, il suffira de difïérentier sous le sii^ne de substitution comme si x était fonction de x.

Si y renferme les trois variables x. x^ y, ou si Ton a

^^ =/{''''") -'^^y)^ ^^ qu'on demande la dérivée de / / '\ •

par rapport à x, on remplacera V par/ V dans la dernière écfuation. qui deviendra

Celte nu'îme équalioîi (i) donne d'ailleurs

'^''h\ (v, v/-" ~^ dy dy.l'

en substituant ces valeurs, el considérant que le fadeur symbolique ~, tenant la place soit de —, soit de —, ne dépend point de /, et (|uil est permis par conséquent de le faire passer sous le siG;ne / , on arrive à Téquation

CALCUL DES VARlATfOlVS.

La soiïirne aQ'ectéc des signes de substitution est évidemment la dérivée totale de V prise par rapport à x, comme si chacune des variables x, x, y était fonction de celles qui la précèdent, x fonction de x,y fonction de x et de x.

Considérons encore l'expression

dans la-

quelle V est fonction des variables x, x, j, ^, et dont il faut trouver la dérivée par rapport à x. En remplaçant dans Téqualion précédente

V \yAY

- par

/V ./z HT

d\ ~dx

par

\'' ld\ d\ dz\ I \ r//; <^/z dx J

j \~dV '^ 'd^d})

Cl faisant passeï les lacteurs — » '-/j ':^5 sous le nouveau 1 ti 'f dx. dx

siiine de subslitnlion

ce qui est permis, puis(|ueles li

mites jt',, Js, Vi, )'?, elles-mêmes, et par suite leurs dérivées, sont indépendanles de z -, on veira (|ue rensemble des termes alfectés dans féquation ['}.) des signes de substitution, auxquels s'est joint le signe lelatif à /, s'accroît du terme

d\\dz dz dx dz I d^ ^^^IfY\

dz T ~^ (h: d^. ' Ty \dy. dx dv.} \

et devient la dérivée totale de V prise par rapport à x comme si eliacune des variables x, x, y, z était fonction de celles qui la précèdent. Si l'on désigne cette dérivée par — — , on aura donc

I Le même raisonnement, appliqué successivement à un

I nombre de vniiables de plus en plus grand, conduirait \ évidemment à la fornuile générale

u:i::i:iH:i:i:-i:m

I dans laquelle -— (]csi2;ne la dérivée totale de ^

■ relaliv(; a x, prise coiuiue si eliacune des \ariablcs

I >'o -^i/, -s, . ... , ^ était fonction de toutes celles qui la |)i<''-

r cèdent. La signification réelle de celle formule svudio-

j lique, après les explications données, n'a rien d'obscur.

^ Quand on aura formé la dérivée totale [—1, on de-l composera la substitution double / 'en deux substitutions simples, on remplacera —, -- , i^-, iL' , . . . , ,,ar ^'

(/y. .h: (ly dz ' ' «-/-^ '

dt, dt, de, 'dv' Tl^' 7h'"'' '""'•' '**^'' '*'' i<''"»(^s précédés du sign<-

/dt^ (It., (il., (It.

' ^'""'d^: dr' 7i' .71' ■ • ■ ' ''•■'"' ^^'^ ^^'■'"^'-'^ précédés

du .signe / • on fera ensuite pour les autres variables

s,. . ., z, y^ .r, ce que Pou a fait pour /, ei Ton airivera à la valeur définitive de la dérivée chercliée

iS CALCUL DES VArxiATIONS.

9. La déinonstralion rigoureuse de la formule générale (4) esl d'ailleurs irès-facile-, il suffira, cx)mnie c'est la marche ordinaire en pareil cas, de prouver que si elle est vraie pour u — i variables, elle l'est encore pour n variables. Admettons, en effet, qu'elle est vraie pour les variables :r, y, z,, . ., 5-, Tensemble des termes atreclés des substitutions relatives à ces variables sera

~d^. ~^ ~7lx' ci V. dy \d7.\~^ dz Vdy.\ "' ds L'^^J'

les dérivées totales ^77 M ^^ ' ' ' * ' KT^ devant êlre

prises comme si chacune des variables k, x, j% z^. . ., s était fonction de toutes celles qui la précèdent. Si pour introduire une nouvelle \ ariable r, nous remplaçons V par

il faudra ei]

i même temps

rem pi.

ïcer

dy, j

par

\'- jdV dV dt\

[ \dV '^ ~dt7h)

!''■ [dV r/V r/A / \T/7 "^ ~^ds)'

Tenscmble des- termes allc'clés des signes de substitution, auxquels s'est joint le signe relatif à f, se sera accru du nouveau terme

d\ \ (It dt dx dt I dy 1 dt V ds

(U (dv. d.T d y. dy\d/. \ ' '' ds\(ly.

cl dcîviendra ]>iéciséMi('nl la déiivéc lolale de V ]»ar rap-

EXPRESSIONS DÉFITVIES. * .' ' l^|

port à iCj prise comme si chacune des variables x, •'^',yi z,..., s, t était fonction de toutes celles qui la précèdent. Donc si la formule est vraie pour n — i variables, elle le sera encore pour n. Or elle est démontrée directement dans le cas de trois variables^ donc elle subsistera quel que soit le nombre des variables affectées de substitutions.

10. Tout ce que nous venons de dire des expressions définies qui renferment un ou plusieurs signes de substitution double •

s'applique de mcnic et sans aucun cliangement aux expressions dans lesquelles tous ces signes ou quelques-vms d'entre eux sont remplacés par des signes simples. On

\ aura ainsi, par exemple.

rrr-P^rrr-tm

rès la mémo

la dérivée symbolique -— étant forméed'aprè

loi de dépendance rétrograde entre les variables. Celte formule, à laquelle ou parviendrait directement par des raisonneiucnls analogues à ceux qui nous ont conduit à l'équation (4), est d'ailleurs assez évidente en elle-même pour qu'on puisse l'écrire immédiatement; car le seul fait des substitutions successives de A, , 5, , . . . , ^r^ , .yi ^Xi établit entre les variables principales x^y, z,. . ., f^ contenues dans la fonction \, une dépendance telle que chacune est, essenliellenient fonction de toutes celles qui la précèdent et de y.. Evidente quand il s'agit de substitutions simples, cette formule ne le sera pas moins dans le cas de substitutions doubles, puisqu'une expression définie à substitutions doubles est, comme on l'a vu, la somme ou la IV. 2

ïS - CALCUL DES VARIATIONS. '

différence d'expressions définies à substitutions simples, et que la dérivée de la somme ou de la différence est égale à la somme ou à la différence des dérivées.

1 1 . Deuxième cas. — Intégrales définies. — Pour trouver la dérivée de l'intégrale définie simple

dans laquelle la fonction V ainsi que les limites x^ et J a dépendent du paramètre it, donnons à ce paramètre un accroissement A/, et désignons respectivement par AV, Aj^j , A j's 1 îes accroissements correspondants de V, .r, , .r, . [.'accroissement de l'intégrale sera évidemment

c/x, -H A J-, Jx^

— I AVr/x-h / (V-hAV)r/j

r, -H A Jr,

Or si les fonctions V cl AV croissent par degrés insensibles et ne deviennent pas infinies entre les limites x^ ^,| j>^ l Axi , le dernier terme est égal au produit de la différence entre les limites ou Ax, par une valeur moyenne de la fonction V H- AV entre ces mêmes limites.

Désignons par / V -h £, celte valeur moyenne, e^ étant

nécessairement une quantité qui disparaît avec Ax, il en résulte

I '(V-+-AV)r/.r=: Ax, ( e, -f- / V y

On aura de même, en admettant que V et AV croissent

-■'■"■'•■ ' ^ '■, ' ■ ■ ■■ '. Il •

EXPRESSIONS DÉFINIES. ig

par degrés insensibles et ne deviennent pas infinies entre les limites a:^ et j:, -h A x,,

( (V-hAV)^.rr=Ax,f £,H- / V|, •

£5 étant une nouvellt; quantité qui s'évanouit avec Ah. On peut donc écriic

I A Vrix H- A.T, ( £. f- / V j — A.r, ( e. -+- / V

En divisant par Ax les deux membres de cette équation e( passant à la limite, on trouve

7; = l lu ''■'■ + lu l v-;^/ V, ;

OU siinjdemenl

eu faisant usage de la iiolatlon symbolique adoptée. Considérons maiutonaul l'intégrale double

dy d.i

et chcrclions sa dérivée par rapport à x, en supposant que la fonction V ainsi quelcs limites .r,, .Tj, 7^1, Js dépendent de ce paramètre. Si, dans la formule (5) iclative à Tin-

tégrale simple, on renqdacc \ j>ar j \ dy, on (rouve

ds> n d r-- l'-dx r^- 7û=j '-^d;. ^^^'^/ d;J ^'y

Cette même formule (5) donne d'ailleurs

çy. çy.dM , F^ dy

Eu introduisant cette valeur et faisant passer sous le signe intégral relatif à j le facteur — -, qui se trouve dans le second terme, ce qui est permis puisque ce facteur symbolique, représentant -— ^ ou — -^^ est indépendant de la variable y^ on arrive à la formule

i /^' r'- dr

ijy-

Pour obtenir la dérivée par rapport à x de l'intégrale triple

I 1 / \dzdydx,

on remplacera dans la formule (6) relative à l'inlégrale double

V pai el

— par I — dz -h I V — ; dx Jdy. I dv.

on fera passer sous le signe intégral relatif à \z les facteurs symboliques ~r ^^ ~r - indépendants de cette variable, et

on trouvera

1 c/x, c/r, c/^j c/x, t/r, ir,

12. La loi de la formation des termes successifs est déjà assez nettement indiquée pour qu'on puisse écrire la formule générale suivante :

l^our démontrer rigoureusenienl celle formule, il suffiraildc montrer que si elle est vraie pour n — i variables .r, y, 2, . . . , 5, elle l'est encore pour n variables x, 7, z^. . .. s, t, ce qu'on pourrait faire en suivanl la même man-.he (|ucdans le cas des expressions délinies par substitution.

dydx

dzdr

Interprétée en langage ordinaire, cette formule fournit la règle suivante :

Pour obtenir la dérivée d'une intégrale multiple quelconque relative à un paramètre x qui entre non-seulement dans la fonction V, mais aussi dans les limites des intégrations, il faut: j^ prendre en dedans des signes d'intégration la dérivée de la fonction V par rapport à y.\ 1^ ajouter au premier terme ainsi obtenu un nombre de termes égal à celui des variables, et dont chacun se déduit de l'intégrale proposée en changeant tour à tour le signe d'intégration relatif ci chaque variable en signe de substitution double correspondant et remplaçant en même temps la différentielle de la variable par sa dérivée relative au paramètre dont il s'agit.

43. Troisième cas. — Expressions définies mixtes. — Pour simplifier le langage, nous distinguerons les variables principales (pii entrent dans une expression définie mixte, en deux catégories: nous appellerons variables de substitution relies qui sont Tobjet de substitutions ou par rapport auxquelles on substitue, qi variables d'intégration celles pai- rapport auxquelles on intègre.

On trouveia dans tous les ras la dérivée d^ine expression définie mixle, en appliquant convenablement et tour à tour les formules (4) et (8). J^'enons, par exemple, pour point de (lé[)art la foiinule lelative aux intégrales simples

lemplaç^^s^ ])'ii" / ^ . e* i^'*' '"^"^*^*P"^'"*^

r/V f- /(i\ dW rir\

EXPRESSIONS défîmes. ^3

et faisons passer sous le signe de substitution relatif à vie facteur —-5 ce qui est pcrnns, puisque ce facteur est indépendant de la variable/^ il viendra

/^•- \^'- dx

Si dans c<3lle nouvelle équation on remplace V par 1 Vv/z, et par ronséquenl

-par / -d.^^ V, et ou ou lasse i)asscr les lacteurs -— et -4- sous les sienes

^ ^ dy. dy. ^

de substitution ou d'inlégralion relatifs à la nouvelle variable z^ qui n'entre point dans ces facteurs, on trouvera de môme :

Par U1Î procédé loul à fait identique on établirait suc-

d\ <lx\

dY dx dx dy.

cessivemeiit les formules suivantes :

r^ {^^'l'-idY dv dx d\ /

dz dz dx\

14. Il est aisé de voir qu'une suite d'opérations semblables, convenablement choisies et exécutées, conduirait à la dérivée d'une expression définie quelconque. Partant d'abord d'une expression qui ne renferme qu'une variable principale, on passerait successivement au cas de deux, trois variables, elc, en mettant toujours à la place de la fonction V une nouvelle expression définie. Or, si Ion applique cette marche à un nombre suiTisant d'exemples, et qu'on examine attentivement les valeurs finales des dérivées obtenues, on ue tarde pas à entrevoir la loi de formation des termes dont elles se composent, et à découvrir la lègle générale de dérivation, qu'on peut énoncer comme il suit :

Règle générale. — Pour obtenir la dérivée relative a y. (Viuie expression définie^ résultant dlun nombre quelconque de substitutions ou d'intégrations à opérer sur une Jonction V, il faut : V'' prendre en dedans des

EXPRESSIONS DÉFINIES. a5

signes de substitution et d'intégration la dérivée totale dé la fonction V par rapport àx\ i^ ajouter au premier terme ainsi obtenu un nombre de termes égal à celui des intégrations , et dont chacun se déduit de V expression définie donnée^ en changeant tour à tour le signe d'intégration relatif à une variable en signe de substitution double correspondant, et remplaçant en même temps la différentielle de cette variable par sa dérivée totale relative à y,. Quant à la dérivée totale soit de V^ soit de .r, j, ^,..., que doit renfermer un terme quelconque ^ \ elle sera formée, comme si chacune des variables de

substitution qui entrent dans ce terme, était fonction de toutes celles qui la précèdent , et de y..

15. Il n'est pas dilîîcile de prouver que si cette règle est vraie pour n — i variables, elle le sera encore pour n vari^bk s. Admettons, en eiïet, qu'elle est vraie pour une expression définie renfermant les variables principales

r, j-, z,..., 5, et examinons d'abord ce qui arrive, si

Ton remplace V par / V dans la dérivée de cette expres-

SlOIl.

Le signe / prend place dans tous les termes à la

suite des autres signes de substitution et d'intégration, et tous ces termes conservent leur forme, à l'exception du premier, lecjuel d'après la règle générale devait renfermer la dérivée totale de V relative à k, formée comme si chacune des variables de substitution était fonction de toutes celles qui la précèdent et de y., et qui, actuellement, renferme la

dérivée totale de / V prise dans la même hypothèse. Mais

si Ton dévelo[)pe celte nouvelle dérivée totale, on retrouvera encore, sous le signe de substitution relatif à /, la

26 CALCUL DES VAHIATIONS.

dérivée totale de V, prise celte fois, ainsi que cela doit être, sous la condition que la relation de dépendance rétrograde entre les variables de substitution s'étend à la variable t. La dérivée de la nouvelle expression définie à n variables, du moins lorsque la /i'^""" variable est affectée d'un signe de substitution, rentre donc tout à fait dans la règle générale.

Il en sera de même, si cette nouvelle variable est affectée d'intégration. Eu efïet, si nous remplaçons V par

\ rit dans la dérivée de l'expression définie à // — 1

variables, le signe l s'introduit dans cbaque terme à la

suite des autres signes de substitution et d'intégration, et tous les termes conservent leur forme, à Tcxception du pre-

mier, dans lequel la dérivée totale de | Y rit doitreni-

placer celle de V. Mais, en cll'ectuant les calculs, on reconnaîtra que ce premier terme se partage en deux autres, renfermant l'un la dérivée totale de V alTeclée du signe

intégral / , l'autre le ])roduit de \ par la dérivée totale

(le t, alfeclé du siirne de siil)stitution / ; et ce résultat

est parfaitement conforme à la règle générale. 11 est donc bien prouvé que, vraie pour// — i variabbîs, cette règle l'est encore pour // variables: or elle est vraie évidemment dans le cas d'une seule variable^ donc elle le sera quel que soit le nombre des variables.

Nous avons supposé jusqu'i<i que l'expression à diflérentier ne contenait que des signes de substitution double ; maison pourrait évidemment les r(;nqilacei- tous, ou en

partie, par des signes de substitution simple^ sans avoir rien à changer à la série des raisonnements qui précèdent. La règle établie conduira donc également à la dérivée des fonctions définies renfermant des substitutions simples. 16. Il ne sera pas inutile d'indiquer en peu de mois comment on peut arriver plus directement à la règle générale que nous venons d'établir. S'il s'agit de diflerentier une expression définie mixte, ne renfermant que des substitutions simples, on pourra lui donner d'abord la forme d'une intégrale définie (n° 6), et appliquer ensuite la règle de la diflerentiation des intégrales, ou la formule (8). Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de diiïérentier l'expression

■irrir

dtdy

D'après le n" 6, il est permis de supprimer les signes de substitution et d'écrire simplemc^jt

8=1 I \'dtdy,

pourvu qu'on ait fait préalablement .r r= x, et r: = c, dans celles des fondions V, /,, ^2, /i 1 J) 2 , où enlrcni les variables x et z. On aura donc, toujours eji adnu'iiaiit «•elle même liypotbèse, en vertu de la formule (8),

Id\

dt'\ p/j I . , , . .

— r — h on Uenne <ompU'<l(;s sunsdlulions sous-cn

dy. I L'^/>^ I

28 CALCUL DES V AllIATIOKS.

tendues. Or, puisque les variables x etz, devenues oTi et 2 , , entrent dans la fonction V et dans les limites ^1, fj, représentées toutes deux par la lettre t dans la dérivée symbolique 7— ' et que la première des deux variables entre seule dans les limites y, et j^,, représentées toutes deux par la lettre j dans la dérivée symbolique 1 7- n les valeurs eiFectives de ces trois dérivées seront :

cfz clx dx d-A

r^n/ 'T'i^v d\ dx dy idz

r^/ 1 /-"' /^' \ dt dt dx dt idz dz dx\ i

L^J~/ / \d~y.^ 'dx'Ty.'^ Tz\^x'^ Tx'dy,)\

[dy 1 / *^' fdy dy dx \ ^J / \ch.'^'dTd^.j

Si Ton introduit ces valeurs dans la dérivée -7- ei qu'on

dv. ^

rétablisse les signes de substitution, on obtiendra définitivement

js z-^' r-^w^' r'\d\ dwdx d\(dz dzd.T\\^ ^

/'. /'-n /'■/', it 'dtdx dtldz dzdx\[^

Comme les expressions définies qui renferment des sub slitutions doubles, se partagent en plusieurs expressions ne renfermant que des substitutions simples, et dont chacune donne une dérivée exactement de même forme, sauf les limites différentes accolées aux signes de substitution, la fornmle précédente subsisterait encore si Ton changeait

f . EXPRESSIONS DÉFINIES. . .^ 2Q

les substitutions simples / , / , en substitutions doubles

Pour peu qu'on réfléchisse à la marche suivie dans cet exemple, on est bientôt convaincu quelle conduira à la dérivée d'une expression définie quelconque, renfermant avec les intégrations soit des substitutions simples, soit des substitutions doubles j qu'il suffira pour cela de prendre la dérivée de l'expression définie, comme si c'était une intégrale définie, en négligeant les signes de substitution, pourvu que dans la formation des dérivées soit de \, soit de t, 5, . . . , on tienne compte des substitutions sous-entendues, en ce sens qu'on traite chacune des variables auxquelles se rappoitent ces substitutions, comme une fonction de toutes celles qui la précèdent et dcx^ dans le résultat ainsi obtenu on rétablira ensuite les signes de substitution à leur place primitive.

On reconnaît sans peine (jue cette marche à suivre est précisément celle qui résulte de la règle générale déjà formulée.

17. ISous allons montrer par quelques exemples combien son application est facile. Veut-on, par exemple, la dérivée ])ar rapport à y. de l'expression

on prendra d'abord la dérivée totale de V, en conservant les signes \ f f\ on ajoutera à ce premier terme deux autres termes que Ton déduiia de Texpression proposée en remplaçant tour à tour chaque difiérentielle dz^ dy par la dérivée totale de z ou de y relative h x, et changeant en même temps lintégration r(;lative à r: ou y en substitu-

3o CALCUL DES VARIATIONS.

tion double correspondante. Ou aura donc

Comme dans la formation des dérivées totales, entourées des accolades [ ], il faut toujours regarder chacune des variables de substitution comme une fonction de toutes celles qui la précèdent et de x, les valeurs de ces dérivées seront :

dy\ __dV dV d.T

d y. 1 d-/. dx dv.

dz I dz dz dx

dv. j dy. dx dy

dy dy dx dy

On arrive ainsi au résultat suivant, qu'on aurait pu déduire immédiatement de la règle générale:

dzdy

UIV'

A la vérité ce n'est là cpi une formule abrégée et S3^mboli(juej mais il suflit de décomposer les substitutions doubles en subslitutions simples (orrespondantes, et de

EXPRESSIONS DÉFIKIES. 3,

remplacer les dérivées symboliques des variables Jp y z par les dérivées réelles des limites x^, Ts, j,, jg, ^^.^ ^^ qu'elles représentent, pour arriver à la valeur définitive de la dérivée cherchée :

/■■■ r- ("■■'d\ dvdx.\

/ / J, Uî'- "^ ^/x r/x j

32 CALCUL DES VARIATIOIVS

•Con3idéroiis encore rexpression définie

rr r

Vrfz,

affectée à la fois de signes de substitution simple et double; sa dérivée relative à y, aura pour valeur symbolique

<ly l /,. J^ \dy, drtly.^ dx\dy.^ dxdrj]'

(h d.T. dz ( dy dy dxX | dx dy. dy \dy. dx d\

Le premier terme renferme la dérivée totale de V prise en regardant chacune des trois variables x, x^ y comme fonction de celles qui la précèdent, tandis que pour la dérivée totale de 2. contenue dans le second terme, cette dépendance rétrograde s'étend aux quatre variables x,x,j, ^.

Cette équation symbolique deviendra une équation réelle lorsque, après avoir décomposé les substitutions doubles en substitutions simples, on aura remplacé les dérivées symboliques des variables x, 7', z par les dérivées réelles qu'elles représentent, ainsi que nous l'avons fait dans le premier exemple.

Ces deux exemples sulfiseut à éclairer Tapplicalion de la règle générale du n" 14, et à montrer combien les formules se simplifient par l'emploi des notations admises.

18. hitcs^r allons par parties des expressions définies. — Il arrive souvent qu'une expression définie ren ferme en facteur sous les signes de substitution et d'intégration la dérivée w d'une fonction inconnue prise par rapport à Tune des variables d'intégration, et qu'il faille la transformer de telle sorte que cette même fonction ne

soit plus dilîéreiitiée que par rapport aux variables de substitution. Afin de mieux expliquer comment on doit s'y prendre pour cflectuer cette transformation, considé rons l'expression définie mixte

rr f»

dzdx.

renfermant la dérivée de o) relative à la vaiiable d intégration X. Si Ton difîérentie par rapporta .r, considérée comme paramètre variable, l'expression

Rro.r/r.,

c est-à-dire ce qui dans lexpression donnée es! aiîécté dijitégration relative à x, mais où o) ])rend la place de ~, on

aura, en \ertn delà recèle i;énérale du n" 11,

H:.C'-'H:ivm^'-[:iH

Les dérivées totales, entourées d'accolades, devant être formées, la première conmie si des deux variables .r , v, la seconde comme si d(îs trois variables x, y, z, chacune était fonction de celle ou de toutes celles qui la précèdent, auront ])our valeurs e/îectives

'd.Ror

dx 'dz~ Jhr.

d.Rudy d (,\

d) dx {1.1

dx dy ,i.l

dz dz di dx dy dx

Si Ton introduit ces valeurs dans dente, et qu'on intègre ensuite les deux membres entr<' les limites x^ et .1%,, après les avoir nniUipliés par dx^ on IV. ' ^

equaljon ])récé-

34 CALCUL DES VÀRIATIOISS.

obtiendra

dzd.T

(Ix '

dzdj

! I f \ ax t

ol en transposant

Cette nouvelle équation réalise la transformation cherchée, puisque son premier membre est précisément l'expression donnée, et que dans le terme du second membrv. où (mtre encore la dérivée de o), celle dérivée est prise par rapport à ^', qui dans ce terme est une variable de snbstitution.

Prenons pour second exemple l'expression

]\n diirér<nuianl par rapport à y l'intégrale / 1^

w riz

nous aui'ons

Multipliant par (h\ intégrant entre l(\s limites y, et /) ?.

EXPRESSIONS Défîmes. 35

et transposant, il vient

et ce sera la transformation chercliée, quand on aura introduit dans les deux membres le signe de substitu-

! lion / .

■■ 19. Cette même marcbe qui conduit au but dans tons

i les cas, se traduit dans la règle suivante :

I Lorquune expression définie contient, en facteur la

) dérivée d'une fonction iù relative à une 'variable .d^in-

X té^ration x, pour la ramener à une for/ne oit les dérivées

^ de 0) soient foutes relatives à des variables de substitu-

\ tion^ i^ différcntiez par rapport à x l expression entière soumise à V intégration relative à cette 'variable, après

{■ Y avoir remplace -— par^,)-^ '?." uitegrez le résultat par

J^ rapport à x entre les limites .r, et x^. L'équation à j laquelle vous parviendrez ainsi, don nera^ par une simple transposition des ternjcs^ la transformation chercliée.

En eHet, la diiïérenlialion relative à x, premier temps de rojiéiation, donne une équation dans laquelle tous les teiines contiennent, sous l(^s signes f et /, w en facteur, à rexceplion du premier terme du second membre, qui renferme la dérivée totale relative <à .r d'un certain pro<liiii Ro)- or cette dérivée totale développée

se composera d'un premier terme? R — — et d'une série de

termes uv renlénnanl plus que des dérivées de w relatives aux variables de substitution. L int<'irrali()n relative à x

36 CALCIL DES VAT\IA.T10IVS.

entre les liiniles r, et Xj,* second temps de l^opération,

ramènera le terme en R -— à l'expression définie don-

née, en laissant dans tous les autres termes des dérivées uniquement relatives aux variables de substitution; donc une simple transposition des termes donnera définitivement la tiansformation cherchée.

20. Connue application particulière, mais très-importante de cette règle, pioposons-nous de transformer l'intégrale multiple

. R — - . . .(izdrth'

de telle sorte que la fonction o) n'y soit pins difi'érentiée par rapport à une variable (rinlégralion. La dérivée relative à X de Ti^xpression JJ . . .R w. . .clzdy^ est en vertu delà formule (8), p. 21,

• I\ oj . . . dzdr

r/r.> dK \

ij i

[■'■ C" i 'If'' <'^ \

dzdr

Intégrant les deux membres par rapport à x entre les limites Xi et X2, après les avoir multipliés par dx, cl transposant, on obtient la formule de transformation gé-

FAPUESSIOxNS DÉFIMKS. ^iy

néralcdoîs inlégrales multiples :

(hdjdi

Ces iraiistonnallojis sont ce <ju on pouirail appeler r intégration paf parties fies expressions définies, en raisou de l'analogie (juclles onl avec le procédé connu sons ce noju dans la théorie des intégrales simples, procédé (jui n'est au ibnd (pi'nn cas très-particulier des trajisiormations dont il vient (rèli-e (picslion.

î2l. iSous cioyons utile, en leriuinant celJ(; leçon, de liMinir dans un même tableau les formules de réduction. \\\ moyen di; l'inlégration par parties, d<' toulos les expressions délinies rpii renferment au plus trois variables j)rin( ipales. Pour simjdilier, nous dégageons àc. leurs limites les signes d'inlégration et de substitution toujours doubles^ mais chacun li;s l'établira sans peine, en se rai)pelant que les limites qui doivenl alléclei- un quelconque de ces signes sont ceîh's de la variable <pii lui correspond dans Tordre des lettres, ccsi-à-dire d<; la pi'cmiére variable j)Our 1<' premier sign<'. de la secon<le variabh; ])our le secoiul, etc.

38 CALCCL DES VAlUATIOJVS.

(a). Expression définie relative à la 'variable x : (bj. Expressions définies relaUWs aux variables x.j-

jj ■>ê^'"«/jH-*-//«4'"-/jï-«*.

:). Expressions défitiies relatii^es aux variables x,

r// Ir/wr/r cU/dz dzdrV]

J'fhP'HJhHlh-tflH'Hlf^--'--jllHi-m--

drd.T

I dzdyd.i

; EXPRESSIONS DÉFINIES. 3 g

(d). Expression définie relative à la variable y : (e) . Expressions définies relatives aux 'variablesj^ z:

//«$<.=//«--//l(f^Sî)— Sîh

(f). Expression définie relative à la variable z :

4o CALCUL DES VARIATIONS.