TROISIEME LEÇON

Définition de la variation dune fonctidn. — Variation d'une fonction composée. — Variation dune intégrale multiple. — Transformation de la variation d'une intégrale multiple. — Formule de M. Ostro[;radsky. — Variation d'une expression délinie <}uelconque.

^H. DaiJb le calcul des varialioiis, on considère certaines fondions inconnues comme variables de forme, de sorte qu'elles puissent passer successivement d'une valeur à une autre, sans que les variables x, /, z,. . . dont elles dépendent, cbangcnt ellesr-mèmes de valeur. Il faut d'ailleurs (jue ce passage d'une forme à une autre, qu'on pourrait appeler flêfonnalioii , se fasse d'une manière continue, et (ju'on puisse, en partant d'une fouction donnée, arriver à une aulie fonction (juelconque.

Pour réaliser d'une manière nclle et précise un semblable changcmeni de forme, le mieux est d introduire une nouvelle variable indépendante x , que nous a])pclons parainclrc, afin de la distinguer des variables X, 7,1:,.., (jtii conservent le Jiom de variabîcs principales. On regarde alors la fon<;lion ])roposée //. qui doit changer de forme, comme une valeur particulière d'une fonction plus générale U, lacjuelle, en plus des variables principales je, }, z^...^ renferme le paramètre indéterminé z, de soite (pi'elb' s(^ réduise à // pour une certaine valeur Xq de x. , et qu'elle puisse en outre rejuésenter une infinité d\iun<s fonctions <le.r,), .z:, . . , , suivant les diifér<^nles vab-nrs qu'on ntfiibue successivement au paramètres X. Considérce dans l(»ut<* sa généi'alité, cette fonction peut don<t être djiîérentiée ])ar rapport à x^ et les valeurs que pieinient. lorsqu'on y fail v. ~= /^ , les dérivées pai-

DÉFIMTION DES VAR1ATI0 NS. 4^

lielles , .

; dv (PU (Jfv '

I dr, dy} ' dy? '

\ servent à caractériser le changement continu de forme de ! la fonction i/j nous les appellerons "variations de u du \ premier, du second, du troisième ordre ^ etc., ou sim- I plement première, seconde, troisième,, etc., ^variation ■ de u^ei nous les désignerons respectivement par

\ Su, o^u, S^u , . . . .

Ainsi du., ou la variation du premier ordre de la fonction u, est précisément la valeur que prend pour x = y.Q la

dérivée partielle-—: de mêrne la variation du second ordre

*■ dy.

d-J^' â~u est la valeur de la dérivée — — pour x = Xo, et ainsi

dy/ ^

, des autres. Ces variations doivent cire regardées comme de nouvelles fondions, entièrement arbitraires, des variables X, y, z-)' ' ", toutes les fois que le cliangement de forme de la fonction «n'est assujetti, par la nature du problème, à aucune restriction ])articulicre. En effet, on peut toujours assigner à U une forme l("lle, (jue ses dérivées partielles relatives à x. jus(|u'à un ordre quelconque «, prennent pour x =: x^, telles vahuirs qu'on voudra.

- Il ^ilîit pour cela de définir U par Téquation suivante :

z i-'vr

I tlans laquelle J''(x, .i, j', ^ , • • •) est choisie de manière

i à s'évanouir pour x = Xo, et o, )^, .. .,i|; sunt des fonctions

} (pielcon(}ues. PSous admettons toutefois (jue ces diuiiièics

1 iunctions, et par suite les >arlations <lc // des différents

42 CALCUL DES VARlATiOAS.

ordres, resteul finies et continues entre les limites des variables que l'on considère.

23. La fonction u venant h changer de forme, ses dérivées prises par rapport aux variables :x:^ y, z ,, . . deviennent de nouvelles fonctions, susceptibles à leur tour de changer de formes, et qu'on peut identifier avec les valeurs parliculières que prennent pour y. = Xo les dérivées correspondantes de la fonction plus générale U. On trouvera donc la variation d'une dérivée quelconque de w, en différentiant par rapport à x la dérivée correspondante de U, et faisant ensuite y. = Xo- Or, comme toutes les variables x, x, ^% z,... sont indépendantes entre elles, le rang dans lequel on effectue les différentiations successives reste arbitraire :; il en résulte qu'on peut inlervcîrtir à volonté l'ordre des opérations indiquées par les caractéristiques d et 3, de sorte qu'on a, par exemple ,

^du dSu ^ du d§u ^ <-/'// d'^^u

dx dx dy dy d.rdy d.vdr

<'l, en général ,

^^^ di'^l-^'^ '•• u df-^1^'^ "S" u

drPdyfdz'^. . . dxl' dyl dz' . . .

24. Considérons maintenant une fonction composée V qui reniérme, d'une manière connue, plusieurs fondions //, i^, ^v,..,, avec leurs dérivées successives, et concevons que ces dernières fonctions contiennejit toutes un nième paramètie ar])itraire x, de manière qu'elles changent de forme lorsque ce paramètre change de valeur. Cela posé, V contiendra implicitement ce même paramètre X, ou sera Ibnction de x, et Ton trouvera sa varialion en prenant sa dérivée partielle par rapport à x , d'après la règle (udinaiie de la difiérenliation des ioiulioiis < oinposées et faisant ensuite / = Xq, ce (}ui re-