VARIATIONS DES FONCTIONS COMPOSÉES
vient à remplacer les dérivées -— i -—■>••' par les varia-
lions Jiz, àv, Supposons, pour fixer les idées, que V
contienne seulement deux variables principales j:,j^, et deux fonctions «, t^ de ces variables avec leurs dérivées successives; désignons respectivement par L, M, N, P, Q, R, S, T,. . ., N', F, Q', R', S', r, les dérivées partielles
-, ^7 , . , du du d- u d- u d^ u di>
de V relatives a x, y, ^-^-r' ZT^ T^' T"^r' -7-7'- ••? -j-^ dx dy dx^ dxdy dy^ dx
dv d'^v d'v d'^v ., J-/V. • 11
~r"> ~7~;' -, — r~' ~; — ' • • • • ue manière que sa aillerentieile dy dx^ dxdy dy"^ ^
totale soit
d\=ihdx-^Udy
^, . ,du du jP u d-u cP a
-h]NV/«-hPr/ — +Qr/— -hRJ- ^ S J— -r- -h Tr/-— -h ...
dx dy dx' dxciy dy
, di> . dv , d^v , d^x' d'^v
-H ^'dv H- V'd — H- Q'rf— -h RV/-r;-H SV/— — -h T'r/— -h . . . dx dy dx^ dxdy dy^
la variation de V du premier ordre sera évidemment
■ ^ ^du ^ du „ (P u „ <-/' // ^ d- u
rylo%^-hP(j— -f-Qo-7--Mlo-— -hSrI-— --I-T.Î-— -1-- ...
dx dy dx' dxdy dy
/^/o; c/j- dx^ dxdy dy
OU bien , vu transposant les signes a/ cl 0,
oV —
^ ^ Jott dou d-ou ^, <-/-<?« i-Z-'d//
]No^/^P— -4-Q -—^ R +S— — -+-T-— --f-..
/-/.r r/r ^/o:^ (udy dy
(iov doi' d'oi> . d-§v 4p6i'
^. ^'S, -i- l>' 4- (V -i- IV -t- S' — — --r T' -7-7-1-...
, d.i- (h d:r dxdy dy
44 CALCUL DES VAniATlOS.
En preiiaiu les dérivées successives, ou irouveiail sans difficulté les variations des ordres supérieurs ^ il est donc inutile de s'y arrêter.
î25. Considérons encore l'intégrale définie
dans laquelle les limites de chacune des variables .r,j'", Zy. .. sont des fonctions des variables qui la précèdent, dans laquelle, en outre, ces limites, ainsi que les fonctions inconnues z/, t^, iv,..., renfermées dans l'expression V, se déforment avec les valeurs du paramètre x, en donnant naissance aux variations
d.r, , 0X2, <5'j,, ^^i, 0 3,, ôzj,..., 6u, Sv, a<v,....
L'intégrale proposée étant elle-même fonction de ce paramètre, pour obtenir sa variation, ou dérivée par rapport à X, il suflira de remplacer dans la formule (8), p. 21, les dérivées relatives à x par des variations correspondantes. Pour abréger, et par une <onvention analogue à celle du n" 7, nous ferons usage, en les faisant précéder d'un signe de substitution, des symboles
rT-.
(jui en enx-mcnies ne siunilient vwa)^ puLscjue les variables principales x, y, ::,..., / sont indépendantes de x, pour designer les variations des limites inférienr<*s on supérieures des variables de même nom; en d autres termes, 6x^ ôy. âz y . . . . sont des fonctions (|uelconques, la première de x, la secondes de .r, r, la troisième de .T, r, -, etc., assujetties à la seule condition (pie Icnrs valeurs liniiles c<jïncid(Mit aNcc \os variations des limites des variables piin( ipnb's. ('>cll<' <<>nvcnn<»n ou délinili
;ion
admise, ou aura
et aussi, par exemple,
en faisant remarquer que la signification d'une variation symbolique Sx, comme celle d'une dérivée symbolique — , est suffisamment déterminée par le signe de substitution qui précède, alors même qu'il en serait séparé par d'autres signes de substitution ou d'intégration, ou par un facteur quelconque.
Cela posé, la variation d'une intégrale multiple sera donnée par la formule
\ J-r^ «'.>•, .,'-, Ji^
= / I \ • j o\ .dt. ..dzdrd.r
,(hdyfh
'<'iz.(U...drch
.(It. . . dzdx
?.r. dt , . . dzdy.
2(». Oite formule se siniplifie consid<''ral>lemenl d.nis
46 CALCUL DES VARIÂTIOKS.
certains cas que Fou rencontre très-souvent dans les applications. Supposons d'abord que les valeurs j^j et y^ de r correspondantes aux valeurs limites de x deviennent égales entre elles, de sorte qu'on ait
/V.=/V.. fV.=/\;
le dernier terme de la formule sera identiquement nul et disparaîtra, parce que, dans le sens dcsj^, son champ est nul. En efict. si Ion fait, pour abréger,
<e terme prendra (n"()) la (orme
Cl les deux termes de celte transformée s'évanouissent évidemment, parce que dans l'hypolbèse de y\ = y'., , y'\ = r'j , les deux limites de la dernière intégration sont les mêmes. Ce cas se présente en particulier lorsque l'intégrale estlimilce dans \c sens des variables x,y par um^ <;ourbe fermée et continue. L'ordonnée j^ étant, en effet, nécessairement tangent(î à la courbe dans les deux points correspondants aux valeurs extrêmes de l'abscisse x, les deux limites} 1 et r\ ^^^J ^''^ <-es points sont identiques et se confondent.
De même, si les valenrs de s, et z^ deviennent égales entre elles poiir -)':=:= y, cl y = }% . ravant-dcrnier terme
de la formule ( i ) s^' réduira à zéro, parce que, en vertu des égalités
sou champ est nul dans le sens de z. C'est ce qui a lieu lorsque l'intégrale est limitée dans l'espace, ou suivant i les trois variables x, j^ z^ par une surface continue. Car de même que l'ordonnée y devient tangente à la courbe I limite, comprise dans le planxj^, aux points déterminés • par les valeurs exlrèmcs de x^ Tordonnéc z devient tangente à la surface aux points qui correspondent aux valeurs limites de y, <-t cette circonstance fait disparaître à la fois les deux derniers termes de la formule ( i ).
Enfin, si cette condition d'égalité ou de coïncidences des deux limites d'une variable, correspondantes aux valeurs extrêmes de la variable qui précède immédiatement, s'étend à toutes les variables principales .r, y^ 5, . . . , s^ f , c'est-à-dire si l'on a j-, = fa ponr x = x, et X = .7-3 ; Zi=z z^^ pour y = 7', et j = i\ , t^c, et enfin t^ = /s pour s =:Si Cl s = s^ , tous les termes, à l'excep tion des deux premiers, disparaîtront de la formnle et l'on aura simplcînent
(it. . .tlzdvdv
-h I I i •-•/ \Ùt...clzdrdx.
C'est ce qui arrive en particnlier lorsque l'intégrale multiple s'él(\nd à tontes 1<\< va](Mirs de .r, y z^. . ., 1 i\\u
48 CALCLL DES VA Ul AXIONS,
vérifient riiiégalité
L étant une fonction algébrique entière et de degré pair relativement à toutes les variables. Dans ce cas, en effet, les valeurs extrêmes des variables ou les limites des intégrations successives se déterminent de la manière suivante :
1° La première intégration relative à î doit s'étendre à toutes les valeurs de cette variable qui, pour un système quelconque de. valeurs de x, y^ z,..., 5, satisfont à l'inégalité L <^ o. Or comme L, fonction finie et continue de la variable ?, ne peut cesser d'être plus petite que zéro, sans devenir égale à zéro, les valeurs extrêmes de t doivent évidemment vérifier l'équation L = o, qui donnera ainsi les limites i ^ ei /, exprimées en fonctions des variables X. Y, z,..., 5, c(;s premiènîs variables restant encore indéterminées, et les intégrations suivantes devant s'étendre à tous les systèmes de valeurs qu'on peut leur assigner sans que le^ limites de ^, tirées de l'équation L = o, cessent d'être réelles. Mais comme ces deux limites, racines d'une même équation algébrique, ne peuvent évidemment passer du réel à l'imaginaire sans devenir égales enlre elles, il en résulte déjà qu'on aiua t^ = ti toutes les fois que l'une quelconque des variables précédentes x, y^ z,..., s atteindra sa valeur limite. C'est au reste ce que nous allons constater directemeni ])Our la variable s.
2^ La seconde intégration relative à s doit s'étendre a toutes les valeurs de s qui, pour un système quelconque de valeurs des variables précédentes .r, j^ z^..,. vérifient l'équation L = o ^ les valeurs limites 5, et s., seronl donc la plus petite et la plus grande des valeurs que la variable .s peut recevoir daus ceth» équalioîi. loi\s(}u'ou \
VARIATIONS DES INTÉGRALES MULTIPLES. /{o
fait varier simultanément s et t. Pour trouver ce rnininium ou ce maximum, il faut, comme on le sait, dift'érentier Téquation L = o relativement aux variables s et r,
,, . . ds . . dL
et faire ensuite — = o, ce qui entraînera —- = o, équation qui, jointe à la précédente L = o, déterminera les valeurs limites 5, et 5, en fonctions de a:, j^, 2, . . , , r, pourvu qu'on ait d'abord éliminé t entre ces deux équations. Or la valeur de t qui vérifie à la fois les deux équations
dL
est nécessairement une racine double de la première équation L = o-, il en résulte que cette équation, qui donne dans tous les cas les limites de /, donne dans ce cas particulier ou lorsque s atteint ses valeurs extrêmes ^i, 5^, sous forme de racine double, deux valeurs égales /, = ^5, ainsi que nous l'avions prévu.
Soit U=:o, l'équation résultant de réliminalion de f
entre les équations L r= o et — - = o, et qui doit fournir
les limites de s exprimées en fonctions des variables pré- , cédentes x,y, z,. . . ^ r, ces variables restant encore indéterminées et les intégrations suivantes devant s'étendre à ions les systèmes de valeurs qu'on peut leur assiii;ner sans que les limites de 5, tirées de l'équation L'=: o, cessent d'être réelles. Comme Si^ s^ ne peuveiU pas passer du réel à l'imaginaire sans devenir égales entre elles, on en conclura que Si deviendra égale à ^2 clia<|ue fois (jue l'une quelconque des variables précédentes atteindra sa valeur limite. Cette conclusion sera du reste vérifiée en tant qu'il s'agit des valeurs extrêmes de r par les considérations suivantes.
.^^ Les limites r^ et i\ de r, variable de la troisième iu-
