IV

DO CALClîL DES VAHIATIOKS.

tégratioji, sont de même la pins petite et la plus grande des valeurs de celte variable qui satisfassent à l'équation L'=o, lorsqu'on y fait varier simultanément r et 5, les variables précédentes x, y, ^-i- • •■, restant quelconques; r, et /a seront donc déterminées par les deux équations

fis

ou par l'équation L"=o. que l'on obtiendra en éliminant s. Mais la valeur de s qui vérifie à In fois les deux équations

(Ls

est nécessairement une racine double de la première \Jz=o\ donc les valeurs de 5, et s^^ qui correspondenl aux valeurs extrêmes de /', sont égales entre elles.

En continuant de la même nianièri;, on verra que les deux limites d'une variable quelconque se confondent ou deviennent égales entre elles, cliacjue fois que l'une quelconque des variables qui précèdent, atteint sa valeur exirême.

Dans tout c(; qui pré< ède nous avons admis implicitenientque chacunedes é'»juali()ns !.=:(), M =zo^ \J' = o,.. ., n'avait (ju'une couple d<; racines réelles /,, /s, -^i? Vj, r^, /■,,. . . , S'il en était autrement et qu'il y eût pour s. par exemple, quatre racines réelles .v,, .^3, J3, .?;, que nous su])poserons rangées j)ar ordre de giandenr, on ferait l'intégration relative à s en deux temps, d'abord de s^ à .Vji ptiîs de .^3 à 5^i, c'est-à-dire (ju'oii partagerait l'intégrale en deux autres-, pour diacune de ces dernières intégrales il nV aurait plus que deux valeurs limites de s et l'on prouverait que ces valeurs deviennent égales, loiscjue la variable précédente /allcinJ ses valeurs extrêmes. *

Daus le cas ]iarlicnli<'r on le cliauip de Tinfégrale ne

VAUIATIOKS DES INTÉGRALES MULTIPLES. 5ï

doit subir aucune déioruiation, les limites des variables lie devront plus contenir x, leurs variations seront nécessairement nulles, et la formule (i) se réduira à son premier terme

0 / / 1 ' j ^ ^t.dzdyùx

— / I I • • • I ^n^ r// . . dzdydx. -

Ji; Jj\ Jz^ Jt^

27, Les variations des intégrales multiples doivent subir quelquefois des transformations qu'il importe d'indiquer. Lorsque V renferme la dérivée d'une fonction inconnue w, sa variation dV renferme, comme on Ta vu (n**24), la dérivée de la variation ou relative aux mêmes I variables^ il pourra donc arriver que, dans le développe-

I ment de la variation d'une intégrale, au soit dilFérentiée

I par rapport à une ou plusieurs variables d'intégration.

i Nous allons montrer comment, par une suite d'intégra-

f tions par parties, on peut faire cesser celle anomalie, et

j arriver à des formub-s dont on puisse se servir immédia-

I temcnt dans les a])plications du calcul des variations.

Soi l

une déri\éede u contenue dans 1 expression V, cette dérivée amènera dans la variation de \ le terme

TTg' d.vQr'"(/z".~ .'

el dan§ la variation de rinléi^ialc multiple (i), p. 45, le terme;.

dans leijuel la (JériNei'de du vsl j)risc par rapport à des

variables d'intégration. Pour le transformer, posons d'abord

il deviendra

rri:

R V^ . • . dzdydx.

dx

En appliquant le procédé d'intégration par parties, exposé w^ 19, on développera celle intégrale en une suiUî de ternies dans lesquels les dérivées de w ne seront plus prises par rapport à des variables d'intégration. Lorsque dans ces termes on remettra pour « sa valeur, toutes les dérivées de àii prises par rapport à x, et qui devront subir une intégration relative à celte variable, seront au plus de l'ordre / — i , tandis que les dérivées de au relatives à y, 2, ... , suâ- lesquelles porteront des intégrations relatives à ces mêmes variables, seront au plus des ordres /n, «, . . . . Une seconde transformation semblable abaissera à l'ordre / — 2 les dérivées de ou prises et intégrées par rapport à a:, sans élever les ordres m, /?,..., des dérivées prises et intégrées relativement à y, ^,. . . . En procédant ainsi pas à pas, en faisant pour les autres variables de dérivation à la fois et d'intégration ce que Ton a fait pour a', en étendant aux dérivées des autres varialions ^v^ ^iv, . . ., les réductions que l'on a fait subir aux dérivées de J«, on arrivera enfin à l'expression réduite et définitive de la variation de l'intégrale proposée.

28. Il suffira d'un exemple pour montrer l'application de ces principes. Prenons l'Intégrale triple

et proposons-nous (le la transformer tie manière tjue ùa

ne soitplus différentiée et intégrée par rapport à la même variable. En appliquant les formules du n" 21 , et effectuant d'abord la réduction relative à x, on trouve

r-- ri''- dzrPSu

Dans tous les termes, à l'oxceplion du second, les dérivées de au sont encore prises et intégrées relativemetit à r, mais mie nouvelle transformation donne

r'' r- .Pou K-- r- ,/cu

} i dxdvdz • / / d.r t(z

substituant ces valeurs et appliquant de nouveau Tinté gration par parties aux termes qui contiennent encor<; des dérivées de 3u prises et intégrées relativement à z^ on trouve délinitivement

j I I \ d.T dx dv dx <iz. ■

A/Rr/; r/ll^/z dWdzdz d'z\dflu

\ dx d) dv dx dz di d-\ lixih ] dz

dz dz d ■ rj i( I (ix dy dz^ \

jl^i'\i2?: '"■''"'"'■

dz, d^'

dz,

dx'

dxdy

dz,

dz.

d^z , d.Tdr '

On ne devra pas oublier que les dérivées

dy dz dz d'^z

dx dx dy dxdy

sonl des nota lion s purement symboliques qui leprésentent, soit

soit

selon le signe do substitution qui les alïecle.

^ 29. La variation d'une intégrale multiple, (i) p. 4:>,

prend nne forme plus simple, lorsqu'on fait usage de nvitaines fonctions arbitraires Dx, Dr, Di^,..., D/, que nous déHnissons de la manière snivantc : Dx est une fonction de x qui se léduit à c^x, pour x == .r,, et à ox^ pour x = x,; Dr est nne fonction de x, j, (pii devient

*ày^ -f- -~ Dx pour r 1= 7 ,, et ày^-\- ~- Dx pour j'= ) ^^

Dr: est de même une fonction de x, ) , 2, qui pour z =-=;:,

, -, . , ^ dz^ dzy -, se rcdnil a d 2, H Dx H — Dr, et pour z ■=. z. w

d.r dy ^ ^

Sz<, H — — DxH- — -' Dr- et ainsi de suite. A ces lesJricdx <{y

tions près, les Jonctions D.r, D ) , I) r., . . . , sont entièri;-

mcnt arbitraires (*). De la définition même de ces fonc-

( * ) Ces MU'nK'N (V>iicli<iiis s<^ |>iés(Mit('nl ."i nii .uilre point (Je vue coninio dos ;'<i/;rtf/<7»ç (Ir '•. .1 , .- , <\'si (Minr<|ii(ti nous U>s isvoiis (Irsiîjnces par la

lions il resuhc

Introduiics dans Ja formule (i) ( n" 25), ces valeurs lui font prendre la forme suivante