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[Vdidyflx, et intégrons par rapport à 7 et r, entre les limites ji,j'2, et .r,, .r,; il viendra
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(letle valeur substituée dans la variation de rintéi;rale In»
fait prendre la forme
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qui De renferme plus de subsÛLuliou relative à y. Une troisième transformation tout à fait semblable fera disparaître de même le sis;ne de substitution relatif à ^- et en procédant ainsi on obtiendra définitivement
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formule trouvée d'abord par M. O.^trogradsky (*). Quoique elle présente sous une forme très-simple et trèssymétrique la variation complète d'une intégrale multiple, cette formule a rinconvénient d(î renfermer les dérivées de plusieurs variations ])rises par rapport aux variables d'intéi^ralion. Avant de l'appliquer, il faudrait donc faire cesser cet inconvénient à Taide de l'intégra-
(*) Dans les Cow/.'/''.« rendus de i Àcadi-mit' di's Sclmcis, Paris, i8(>o, t. L, I». <S.), M. Liiul(*lœr.i(l(MincdccetU'môm<'f()nnulc micdoinonstraUdiKlirectc «'l irès-.siinplo, Ibiuk'o sur un <h:în;;on>onl de varia 1)1 es in(l<;|)cn(lantcs, mais (jni par cola nirinc ne convient (|n';\n <as p.irlienlier on le elianip .le. l'inléprale est linti{<- d'une nianiôre roulinn.- dans !«> sens d" toutes les va ri a 1)1 os.
Go CALCUL DES VARIATIONS.
lion par parties (n° 18); or si Ton commençait par réduire les dérivées de . . . , D-z, Dj, Do:, ce serait précisément suivre une marche inverse de celle qui vient de conduire à la formule (a), et revenir à l'équation (i) d'où Ton est parti. Celle-ci, par conséquent, est plus directement applicable, et c'est la seule dont nous ferons usage désormais.
30. La variation d'une expression définie quelconque S s obtient exactement de la même manière que celle d'une inlégiale définie. Appliquant la règle du n° 14, on prendra d'abord la dérivée de S par rapport à -/. , en supposant ce paramètre contenu dans toutes les fonctions variables de forme, et on donnera au paramètre y. la valeur particulière x^, ce (|ui revient à remplacer les dérivées relatives à x par des variations correspondantes. On aura, par exemple, en comprenant toujours les valeurs limites des variables parmi les fonctions qui changent de forme avec /.,
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