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64 CALCUL DES VARlATlOiVS.

la varialioii do l' intégrale deviendra

^S= / '(P)oV.r/x . - • .

-4-/ Vox-i — / Vfjx,.

11 iraporle de remarquer que ( elle variation se compose de trois parties essentiellement distinctes les unes d<'s autres, à savoir : 1" l'intégrale

dont la valeur dépend de la forme attribuées à la variation âyi 2" Texprcssioii

/;j(P,)oVH-,:..,i^-.,....(Py^j,-

qui ne dépend pas de cette forme en général^ mais seulcîmcnldes valeurs que ôj et ses dérivé(*s successives jusqu'cà Tordre // — i, inclusivement, pr<înnent aux limites de Tintégrale, c'esl-à dire pour .r =:.- .r, et .x =^x^-^ IV les deux termes

/ v^ir-j V(J.r,,

qui dépendent de la seule variation des limiles.

33. Entre les valeurs limites des variations et les variations d(\s valeurs limitcîs de j, j\ y" ^ . . ., il y a certaines relations Irès-simples (jui permettent (rex])riniei-

lés unes au moyen des autres. Si l'on prend, éli èffel^ îa

variation des expressions définies * • ' - v -.^

on trouve {n° 30) ' -i*^

En appelant, pour simplifier, |, yj, r/, ry'', ... les valeurs de .r,y, y', 7^', . . . qui correspondent à Tune des limites de Tintégrale, ou à Tune des extrémités de la <'Ourbe plane dont.r, y sont les coordonnées, on pourra remplacer c<^s deux systèmes d'équations par le syslcrat; unicpie

or, zzz l§r -f- rt' fJH, <h" = loy-^-r/"dç,

dans lequel le signe / indique la substitution simj)!!' de la limite de .r que Ton considère. II en résulte, en

iransposaul et ayant ee^nrd aux i(lenlM<*s or ■=. — ^,