lit* ^^r (i-^r
limites correspondantes de oy^ — — , — — , . . • . coïncident
avec les variations des valeurs limites ry, y! ^ r/'^. ... de r, y, y ^. . . . Donc, si ces dernières variations étaient nulles en même temps que Jj, pour les deux limites de Tintégrale, c'est-à-dire si les valeurs extrêmes de x^y^y\r'\. . . , J^"~*' i^ti devaient point varier ou changer de forme, les valeurs limites de Jr, — -^î-'-j ^
•^ dx e/a:"-'
seraient également nulles, et la variation de Tintégrale ( 2 ) sf réduirait à son premier terme
{V)Sy.d.r.
34-. Si Sdx était une différentielle exacte, ou, v\\ d'autres termes, si V contenait la variable x et les fonctions 9', ) ', y"^. . ., r"^ de telle manière qu'on pût obtenir Tintégrale J Nv/x, indépendamment de toute forme particulière assignée à la fonction) , cette intégrale serait elle-même une fonction déterminée de .r, j, j', j", ..., ^("-O. pi-ise entre les limites a',,.r2, elle ne dépendrait donc que de ces mêmes limites et des valeurs correspondantes de r, y' 1 y"-, ■ ■ - ')'^ ""''• et ell<^ resterait constante quand
VARIATIONS DES INTÉGRALES SIMPLES. 6j
même on ferait varier arbitrairement la forme de la fonctions^, pourvu que les valeurs limites de ^')y^y,y\ . . . jn'"-i) restassent invariables; sa variation serait donc nulle, quelle que fût la variation cîj.Or, dans le cas où les valeurs limites de x, /O^y ? • • • ' J^""*^ ^^ varient poinf, on a vu que la variation de l'intégrale se réduit au seul terme
ce terme devrait donc s'évanouir quel que fût 3y, ce qui évidemment est impossible, à moins qu'on n'ait identiquement (P) = o. Réciproquement, si cette condition est remplie, la variation de l'intégrale ne dépendra que des variations des valeurs limites de a:, J^j\ . • . , JK^"~*^ 5 l'intégrale définie sera donc elle-momc une fonction déterminée de ces limites, c'est-à-dire que l'expression V/^x pourra s'intégrer immédiatement, quelle que soit la fonction j. Pour que \dx soit une différentielle exacte, il faut donc et il suffit (jue l'équation (P) = o, ou
fl.V dx? ~ dx"
soit identique, quelque foinio qu on assigne à la fonction y.
Le calcul des variaûons conduit ainsi très-simplement à la condition d'intégrabillté connue d'une expression différentielle \dx.
3f). Dans toutes les applications du calcul des variations aux intégrales simples, c est toujours lexpression
P :=:P-—^ -h... ± --■-;'- ' (Ix dx"
qui joue le rôle principal • il importe donc de l'étudier de
68 CALCUL DliTS VARIATIONS -
plus près. Elle renferme, en général, les dérivées successives de j jusqu'à l'ordre 2n, puisque V et ses dérivées partielles P, P,, Ps, . . . , P„ sont des fonctions de
^-ifiy^j"-)' ' ■ > J^"^' ^^^^ "11 seul cas cependant elle n'atteindra pas Tordre 2725 c'est lorsque V, étant linéaire par rapport à y^"'^, prendra la forme
V=:AjC)-+-B,
A et B étant des fonctions de a:, f^ j' ',-•'■> J^"~^^' Dans ce cas, en effet, la dérivée partielle P„ = A ne contenant plus
j'^"\ sa.àériyéen"'""' -—^', et par suite l'expression (P) ne
saurait plus conteniry^-"^On démontre même facilemenl qu'alors Tordre des dérivées day dans cette dernière expression n'excédera pas 2 « — 2 ou que (P) ne renfermera pas la dérivée y^'"~*^ Celle dérivée ne pourrait, eu effet, figurer que dans les deux derniers termes de (P) ou dans la différence
Or, si Ton différentie n — i fols de suite par rapport à x la quantité P„,, fonction explicite de x,r, jV-»/"\ ^<seul terme du résultat qr.i puisse contenir la dérivée ^,(8/;-!)^ sera évidemment
dr^") ■
de mémo, si Ton différentie n fois de suite la quantité P„, fonction explicite do .r, y, y\. . . , r^"~*^ le seul terme
contiendra y^"~^ ■ Ainsi lo coeflicienl do celle dérivée
VAIUATIONS DES IINTÉGBALES SIMPLES. Sq
dans l'expression (P) sera, au signe près.
dPn-^ dPr,
différence qui disparaît en vertu de Tidentitë
dy<"'> dy\"-') dyi") ~ r/^t"-')*
Donc, toutes les fois que V est une fonction linéaire par rapport à 7^^"^, l'expression (P) est au plus de l'ordre in — ► 2 relativement aux dérivées de y. Cette disparition des termes en j^*"^ et j(=»-*) est d'ailleurs évidemment une des conditions qui doivent être remplies pour que (P) soit identiquement nul, c'est-à-dire pour que ^dx soit une différentielle exacte.
3(3. Pr.oBLi-MK II. — TrouK>cv la variation de V intégrale
S=: \dx,
datis laquelle
r et. z étant des fonctions de x à formes variables^ et J •> ,ï"-i • • • ' -^'7 ^" -)' ' ' ■, laurs dérivées successii^es ,
Désignons respectivement par P, P,, P, , . . . , P,„, les dérivées partielles de V relatives à y^j^, y'\. . . , y^"'\ et par Q, Q, , Q2, • • • , Q,x, les dérivées partielles de V relatives à z, z' , z\. . . , s^"), en sorte (jue
rh -"- dz' ' - "d-J" • ^" — ./sCO
rjO CALCUL DES VAlllATIOWS.
nous aurons -
dx dx^ daf'
^ doz ^ d'Sz ^ d'^^z
^.Qa. + Q, + Q,+... + Q„,
et par suite
<ÎS
^ri'''""''^^--^''
dm§y
daf"
^ ^ ^ d^z ^ d"Sz
Vox.
] dx
En intégrant par parties jusqu'à ce que toutes les dérivées de ây et de Jz soient débarrassées du signe d'intégration, et faisant, pour abréger,
dV, , , d"'-^V„,
^^^ ^ dx dx- dx^ dx"
dq. d'Q, . . ,^"-'Q«
VARIATIONS DES IlSTÉGRALES SIMPLES.
on obtient finalement
SS
P)^j-|-(Q)5z Ur
dS'.
Sz
+ / VJx,— / VJx,.
37. Si Ton appelle J, rî, rj', r/, . . . • Ç, C'' T^ ' ' ' : ^""^ valeurs de .r, j, / , j'S • • • , ^, -z^ -^''^ . . . , qui correspondent à Tune des limites de l'inlëgiale, ou à Tune des extrémités de la courbe dans l'espace dont a:, j, z représentent les coordonnées, on trouvera, comme dans le cas précédent, en prenant les variations des expressions /j» /y. //'v - h^ h'' /^''* • •' ^^ transposant,
I dx I d.v
I dx' I dx^
le signe / indiquant la substitution simple de la limite de X que Ton considère. On en conclura que si les limites .OTi, OTs, ainsi que les valeurs correspondantes de
y^y\ yV • oy^'"~^^ z^z!^z\. . ., z^"~^^ ne doivent point varier, non-seulement les variations Jx, , âXi, mais de
plus les valeurs limites de J/, -^
dz
ja CALCUL DES VARIATIOKS. ''
sont nulles, que par suite tous les ter-
(i.T dx"'
mes affectés de substitution disparaissent et que la variation de l'intégrale se réduit à
0^s= jf '{(p)^r-h(Q)^zi./x.
38. Lorsque \dx est une différentielle exacte, de sorte que l'intégration puisse s'effectuer indépendamment de toutes formes particulières attribuées aux fonctions
y^ 2, l'intégrale définie 1 Vdxçsl elle-même une fonc-
tîon déterminée des valeurs limites de a:, y-^y' •> • • • 5 J^^"'""*\ 2, 2', . . . , 2^"~*^- si en outre ces valeurs limites restent invariables, l'intégrale est nécessairement constante et sa variation nulle, quels que soient d'ailleurs les changements de forme de y et de z, ou les variations ôy^ Jz ; ce qui ne peut avoir lieu évidemment qu'autant que l'on ait identiquement
Telles sont donc, dans le cas actuel, les conditions d'intçgrabilité de l'expression différentielle V^x. <
39. Problème 111. — SoiL z unxi fonction dex^ y^ à forma variable, et /7, </, /*, a, t ses dérivées partielles du premier et du second ordre; soit de plus
et cherchons la ^uiriation de F intégrale double
\:= j I \dyflx,
/c.v limites étant censées vurialdcs.
VARIATIONS DES INTÉGRALES DOUBLES, f^ n'^
Désignons respectivement par N, P, Q, R, S, T les dérivées partielles de V relatives à z, p^ q^ r, 5, f, en sorte que l'on ait
/fV ^ rfV rfV dy dv dV'
«s «/? «7 dr ds de
la variation de V sera (n*^ 24)
«o- <r/r «-/.r^ dxdr dy'
et celle de U (n«25)
d.v^ dxdy dy^ J '
-\- j / Vâj.dx-h j 'v6.T.df,
expression qu'il s'agit de transformer, en recourantà l'intégration par parties, de telle sorte que la variation dz ne soit plus difFérentiéc par rapport aux variables d'intégration (n"27). Cette transformation se fait immédiatement pour les deux termes qui contiennent les dérivées de Jz du premier ordre, car on a
Sz.dx
0 z .df dr ,
z.dydj
Chacun des trois termes qui conlienneiU les dérivées du second ordre de la variation ôz, exige, au contraire, deux séries d'opérations. Pour celui, par exemple, qui contient
dx^
5 on a d'abord
r"''F'-dydSz , — / R-f- dx
puis, en appliquant de nouveau aux deux derniers termes l'intégration ])ar parties,
J,. /,. dx' dj
.', .', 'i^ ''•»■ LJ,, ''^
±Sz.dx dx
dx
et par suite, en substituant, ~ - • , ...
C^'l^'i 'l'y tlK dr dRtt,'\^
On trouvera de même successivement
S—— dyd.T= -^§.,dxdx
Sul)slituaiil enfin aux jlivers termes (1(; la variation (?U les valeurs Iraiisfoiméc s rournlrs par les (léveloppcmonls
y6 CALCUL DES VARIATIONS.
qui précèdent, on aura définitivement
