SV
H — r^-h — H — r-\^z,dY(ix
dy dx"^ dxdy ' dy
dRdY^' dS dy dx' d.r
dT
dy
'z . dx
(li) (
/ / ySy.dx-hj I VSx.dy
iO. Arrêtons-nous (juelqucs instants à cette ibrniule pour mieux discerner la nature et la portée de ses diilérenls termes. Si x, j', z représentent les coordonnées rectiligiies d'un point dans respacc, l'équation y = J^ déterminera une certaine courbe AC (y^^. i), si tuée dans le plan
) :, sera ré(pialion d'une se<nnde courbe IjI);
VAUIATIOÎSS DES INTÉGRALES DOUBLES. ^j
même les étjxiations x = x^ et x z= x^ représentent deux droites AB et CD parallèles à Taxe des y, et la surface ABDC comprise entre ces quatre lignes est précisément le champ de l'intégrale double. Cela posé, pour obtenir une expression de la forme
Tjdx
qui se décompose en
Zd-i
i Z étant une fonction quelconque de x etj, il faut faire j tour à tour dans cette fonction j =ji, y = yi^ et inté- I grer Zr/x, après la substitution, entre les limites x, et x, ; f ce qui revient de fait à intégrer Xrlx le long des deux 1 courbes BD et AC et à prendre la di(îerence des deux résultats.
De même pour calculer l'expression
viialo à
il faudra intégrer 7jdy le long des deux droites CD, AB et prendre la dinérence des résidtals. Enfin, toute expression de la fornu'
est la sommé ou la dlirércnce des valeurs de la funclion Z
yS ' CALCUL DES VARIATIONS.
correspondanles aux quatre sommets A, B, C, D, du contour limite.
Dès lors Fensemblc des termes de la variation JU se partage en trois groupes distincts ;
i" Une intégrale double qui dépend de la forme attribuée à la fonction arbitraire c?2;
2" Des termes qui ne dépendent plus de la forme générale de dz, mais uniquement des valeurs que cette varia-
, , . , .1, fl5z doz , ,
tion et ses dérivées pariielles -> — -— prennent le lonc;
du contour limite ABDC ;
3° Des termes en (Jx,, 0X2, Ofi^ ây^^ qui proviennent de la déformation des limites.
Dans les termes du second groupe on pourrait encore remplacer les valeurs limites des variations par les variations des valeurs limites, eu parlant des relations simples (n" 30)
/■'■',/: i'' /,lSz </•-, \
eto
On verrait alors immédiatement {|u<' si les limites des inlégralions ainsi (fue les valeurs de z. p. ij eorrespon-
dantes à ces limites ne varient pas ou ne changent pas de
forme, la variation oz et ses dérivées ——i ——seront ' d.r dy
nulles le long du contour ABDC, et que par suite la variation de l'intégrale se réduira à son premier terme
\ 4-1. On déduit facilement de ce qui précède la condition d'inlégrabililé d'une expression diiréreiiliclle Yrfyrix { à deux variables indépendantes. En elVct, s'il était pos- ; siblc d'intégrer celte expression une première fois sans [ donner à z aucune forme particulière, ou de réduire \ l'intégrale définie double
<Jx, Jy,
\drd.T
\ à une intégrale simple prise le long du contour limite \ ABDC, U ne dépendrait plus de la forme générale de r, î mais seulement des valeurs que z, /;, (j ])rennent sur ce 1 contour. Donc, si les limites de x, y cl les valeurs corres- \ pondantes de s, /?, q ne devaient pas subir de déformation, ' l'intégrale U serait constante et sa variation nulle, quel j que fut d'ailleurs d z. Mais dans ce cas la variation de Tin- I légraîe se réduit, comme on l'a vu, à son ])remier terme, vi f celui-ci ne ])eut être nul, quel que soit à z^ à moins que i Ton n'ait identiquenieiil, et pour toutes les formes de r:,
ii=r N
dQ d'R d'S d^T
dx
dy dx' dxdy dy'
telle est donc la condition d'inlégrabilité cherchée.
Vonv que réx(ualioii li = o ail lieu (juelle que soit la
8o CALCUL DES VARIATIOKS.
forme de z, il est d'abord nécessaire que les coefficients des dérivées de z du quatrième ordre, dérivées qui entrent évidemment sous forme linéaire dans le seul trinôme
r/'R rf^S d'T
dx"^ dxdy dy^
disparaissent séparément. Ur en développant -r-7-' 1
> et n'écrivant que les termes qui contiennent les déri-
vées de z du quatrième ordre, on a
d'z d'z d.rdy^ dy^
on trouve
dx^dy
d'V drds^""^
d'Y r/'V ds'-^\lrdt=''^
d'V dsdt^""^
é(juations aux dérivées partielles qui sufliscnt pour déteiminer V en fonction de r, .?, 1. En effet, la seconde ef la
quatrième exigent que la dérivée —- ne dépende ni de r,
ni de f , ou que des trois (juantités r, 5, Z, elle ne renferme plus que 5; par suite on peut poser
d'Vd*z d'V d*z d'Y d'z
dx-"
dr- dx* ' drds dx^dy drdt dx'^dy-'
dxdy
drdsdx'dy ' ds' dx^dy' ' dsdt dxdr'
d'T dy-
d'Y d^z d'Y d^z d'Yd*z ' drdtdx'dy' ' dsdt dxdy' ' dt' dy"
r\ti 1 011 t /ikl
\ARIATIONS DES INTÉGRALES DOUBLES. Si
intégrant et ajoutant une fonction arbitraire de r, f, on a donc ; .
V=a>(r, 04-iW.
La première cl la dernière des équations [y) exigent en
outre que — soit indépendant de /• et — - indépendant
de t-^ o(/', t) doit donc être une fonction linéaire tant par rapport à r que par rapport à t, c'est-à-dire qu'on aura
Enfin la troisième des équations {7), devenue
•r(.v)-^2A=rO,
donne par deux intégrations successives
V ^(s] — ~As--hiCs-hQ;
f d'où il résulte définitivement
\ (8) V — A(/-/ — .ç^) + Br-f-2C.v^-D/-hK,
l A, B, C, D, E étant des fonctions de x, y, z^ /?, q. Telle I est la forme que V doit avoir par rapport à r, .ç, /, pour { que l'intégrale double U puisse se réduire inimédiatement f à une intégrale simple. 11 faut en outre que les coefTicienls 1 A, B, C, D, E satisfassent à certaines relations qu'on trouf verait facilement par la condition même que €l doit s'éva- I nouir quelle que soit la fonction z et ses dérivées succes- I sives^ mais nous cioyons inutile de les développer ici (*). Il nous suflira pour le moment de montrer que la forme (8) fait disparaître avec les dérivées de z du ([uatrième ordre, celles aussi du troisième, en sorte que il ne contienne plus
I (") Voyez An rlcmcnUnj Trralisc on ihc cnlculus qf 7'ariatious, <le
} JcUelt, }). 3/|/(, oi\ cotte matière se trouve développée avec plus de détail.
