Considérons maintenant le cas où V étant de la forme

ne renferme plus les dérivées de z du second ordre; en conservant les notations des numéros précédents, nous aurons

R=r(), S = O, T=.Oy

et la variation de l'intégrale (i6) deviendra

- I / YSy.dx-h 1 NSxMj, ''

S4 CALCUL DES VARIATIOfIS.

Si les limites Xj , x«, j t , j^ ne varient pas, les deux derniers termes disparaîtront^ il en sera de même du se* cond et du troisième terme, si, en outre, les valeurs limi les de z restent invariables.

Le trinôme

ax dy

coefïiciejit de èz dans le premier terme, est généralement du second ordre par rapport aux dérivées de 2, c'est-àdire qu'il renferme x, y, z, /;, q^ r, 5, t. Pour qu'il cesse de renfermer les dérivées du second ordre r, 5, f, il faut qu'on ait

d'où l'on tire, en intégrant,

A, B, C étant des fonctions quelconques de x^j^ z. Ou prouverait sans peine que cette forme linéaire de V fait disparaître en même temps les dérivées de z du premier ordre et que 11 devient dans ce cas

dk r/B JC

dx dy dz

Si les coeificients A, B, C étaient tels, qu'on eût identiquement

£ï serait nul pour toutes les formes de 2:5 la variation de l'intégrale ne dépondrait plus que des variations des valeurs limites de x, y^ z-^ l'intégrale double serait donc elle-même une fonction déterminée de ces valeurs limites et se réduirait à une intégrale simple.

4-3. Problème IV. — Soit u ujie fonction de x, y^ zà ijorme variable^ et p^ q, r ses dérivées partielles du pre- ] mier ordre j soit de plus

et clierchons la variation de V intégrale définie triple

V=l I j \dzdydx.

les limites Xj , Xj, y^, y^, z, , z^ pouvant elles-mêmes subir des déj'orniatiotis.

Désignons respectivement par N, P, Q, R les dérivées partielles de V relatives à u, /7, </, r, en sorte que

^^" dp ^ ^y f/r '

la variation de V sera

d.r dy dz

<'t celle de rintcgrale (n" :2o)

YSx.dzdf.

Après qu'on a effectué toutes les intégrations par parlies nécessaires pour que dz ne soit plus différentiée par rapport aux variables d'inlégralion, la variation de Tinté-

grale prend la forme définitive

dP dQ dR\ ^ , ^ ,