XX

Xox.dzdy.

Cette formule donne lieu à des remarques analogues à celles que nous avons faites précédemment sur la nature et la portée des termes de la variation d'une intégrale double. Si J^,J", z désignent les coordonnées rectilignes d'un point dans respac<', le champ de IHutégrale triple sera limilé : i" en bas et en haut, dans le sens des z, par deux surfaces couibes C, et Cj déterminées par les équations z :r=z z^ gX, z =z z^-^ 1^ cu avaut et en arrière, dans le sens des y^ par deux surfaces cylindriques H, et \\ perpendiculaires au plan j^'ct ayant pour équations^ ^=/i et y =: ^2^ 3*^ à gauche et à thoitc, dans le sens des x, par deux plans Aj et Aj pt^pendiculaires à Taxe des x et déterminées par les écjuations x = Xi (;t x = x^. Cela posé, rintégrale triple qui forme le premier terme de la variation JU s'étendra à toutes les valeurs de .r, j)\ z, comprises entre les six suifaces limites A,, A,, Bi, lî-^i Cj, C?, tandis que 1rs intégrales doul>les ave< un sigiu* de subsli-

tulion qui constituent les autres termes, ne s'étendront qu'aux valeurs de a:, y, z correspondantes à ces mêmes surfaces limites, ou seront prises suivant les aires de ces surfaces, ///suivant Cl et Cs, ///suivant Bi etBa, ///"suivant Aj et Aj.

On voit donc que la variation complète de l'intégrale U contient trois espèces de termes de nature difTérenle : i^ une intégrale triple qui dépend de la forme attribuée à la fonction arbitraire ô u\ 2® différents termes qui ne dépendent pas de la forme générale de èu^ mais uniquement des valeurs que celte fonction prend sur les surfaces limites Ai, As, lîj, Bj, C,, €55 3° des termes qui, provenant de la déformation des limites, ne dépendent que des variations Jxi, cJoTs, (?j"i, o}'2, Jzj, Jz,.

44. Ici encore les valeurs limites de la variation du pourraient s'exprimer au moyen des variations des valeurs limites de w, et l'on verrait, dans le cas où les limites de l'intégrale ainsi que les valeurs correspondantes de w, ne doiv(;nl pas varier ou changer de forme, que tous les termes aux limites disparaissent de la variation de l'intégrale; celle-ci alors est réduite à son premier terme et l'on a

™=./:xx"(^-s-s-s)'—

Si l'on avait identiquement

r/{> dq dix

'' = ''--dI~-d}---d7 = ''^

l'intégrale triple U ne dépendant plus de la forme de u en général, mais seulement de ses valeurs limites, serait nécessairement réductible à une intégrale double. Mais l'équation 11^=:= o ne sera idonticjuc qu'aulanl que V sera

nue fonction linéaire de p, ^, r de la forme '^ ^

Vr=rA/?H-Br/-hCr— D,

les fonctions A, B, C, D ne contenant que x, y^ z, w, et étant liées entre elles par la relation

dk r/B rfC rfD dx dy dz du

Telle est donc la forme que V doit avoir pour remplir la condition d'inlégiabilité exprimée par Téquation H = o. Ajoutons que dans l'expression il, les dérivées de u du premier ordre disparaissent toujours en même temps (juc (•elles du second ordre, et que cela a lieu toutes les fois que V prend la forme linéaire Ap 4- B<7 -f- C/' — D, (juels que soient d'ailleurs les coefficienls A, B, C, D.