MAXIMA ET MIWIMA DES INTÉGRALES SIMPLES

connaître. Si les valeurs limites des fonctions j^jj/, y",..., jr('«-t}^ qui ont disparu de V, ne sont assujetties à aucune restriction, le problème reste en partie indéterminé. Substituant, en effet;, les valeurs (lo) de (P,), (Pa), . • • , (Pm)î dans les m premières équations (2) pour en déduire les valeurs des constantes arbitraires c,, c,, . . . , c„„ on trouve

valeurs qui rendent en même temps identiques les m premières équations de la seconde série (2), Il ne restera donc plus que a.n — 2 m équations pour déterminer les 2 « — m constantes nouvelles amenées par l'intégration de l'équation (11) devenue (P,„) = o ; et par conséquent m d'entre elles demeureront arbitraires.

C'est du reste ce qu'il était facile de prévoir. En eilel, puisque V ne renferme pas les fonctions } SJ)'^,^": • • • ? y"'~\ et que ces fonctions nentrentpas non plus dans les conditions relatives aux limites, on aurait pu prendre y ^'"^ pour fonction inconnue et chercher la forme à donner à celte fonction pour rendre Tintégrale S maximum ou minimum. La valeur en x de y^'"^ une fois trouvée, pour remonter h la fonction primitive j)', il faudrait encore intégrer m fois de suite, ce ([ui introduirait nécessairement dans le résultat définitif m constantes arbitraires.

60. L'équation différentielle (P) = o peut encore être intégrée immédiatement une fois, lorsque la fonction V est linéaire ])ar rapport hj. et que de plus le coefficient dej ne contenant que x prend la forme o' (x). Dans celte hypothèse, en ellet, on a P = o' (x) et l'éipiation (P) = o d(wient

(Ix (Ix- ' '

on. en intégrant,

[y .)=./>' [x] (ix — «^ ( .f ) --h (• . ■

122 CALCUL DES VARIATIOJVS.

Mais, dans ce cas, si les conditious (2)

existent, c'est-à-dire si l'on n'a apporté aucune restriction aux valeurs limites de la fonction j^. le problème sera indéterminé ou impossible; car la valeur c^ [x) -h c de (P, ) substituée dans les deux équations dont il s'agit, donnera

Cl ces équations sont incompatibles à moins que cp (j:,) ne soit égala (^(Xi). Si, accidentellement, celte condition est remplie, il est vrai qu'on pourra satisfaire aux deux dernières équations par une valeur convenable de la constante c. INIais elles n'établiront alors qu'une seule condition et l'on n aura en réalité que 2 « — i équations aux limites pour déterminer les 2 n constantes, dont l'une au moins restera arbitraire.

61. Enfin, l'ordre de l'équation différentielle (i) peut encore s'abaisser d'une unité, lorsque V ne contient pas cxplicitcnicfil la variable x, quelle que soit d'ailleurs sa forme. En ciî'et, la dérivée totale de V étant dans cette liypotbèse

1^ =: P y -f- p. y" ^ p,^- 4- . . . 4- P„ jC- - , si Ton y subsliluc pour P sa valeur tirée de l'équation (i)

dx"

ni aura

fl.v " d.r- "