MAXIMA. ET MIWIMA. DES INTÉGRALES SIMPLES

Or, le second membre de cette nouvelle équatiou est une dérivée exacte ou la somme de dérivées exactes, comme on le voit en groupant les termes deux à deux.

Substituant et intégrant, on aura donc

1 d.T (Ix^

\ • dx- d.r"-' '^ '

équation qui est lout au plus de l'ordre 'in — i .

Par exemple, si V ne rcnfcrniait quey, Toquation indéfinie (i) se réduirait à V= c, d'où y =z constante. Si \' était fonction de la seule dérivée j^, on trouverait encore, en prenant^' pour fonction inconnue, V = c,et^ par conséquent, y'= const., j= ax -h h. Si les dérivées j', y" entraient seulesdnns V,on aurait, en prenant;)'' pour fonc-

tion inconnue, \ = <^ -H -7-77 } ^ ^'^^ ainsi des autres.

dy •'

C2. INous avons déjà fait remarquer que le nombre des équations est en général ég.il à celui des inconnues et que les valeurs de celles-ci ne deviennent impossibles ou indé terminées que par suite de suppositions parliculières qui icndcnt l(\s é(|uatinnsaux l!nii((\< in(oinj)aliblcs.(>u é(|uiva-

124 CALCUL DES VARIATIOWS.

lentes en ce seus que quelques-unes d'entre elles puissent se déduire les unes des autres. Il est cependant un cas où le nombre des équations est plus grand que celui des inconnues, et qui forme par là une exception à la théorie générale^ c'est lorsque V est linéaire par rapport à la dérivée y^"^ de l'ordre le plus élevé. En eli'et, cette forme, comme on Ta vu n^ 3o, fait disparaître de (P) les deux dernières dérivées /^'""^^ J^^"'-) ^^ sorte que l'équation (i) ne sera plus que de l'ordre 2n — 2, et donnera la valeur de y avec 2/z — 2 constantes arbitraires, tandis que les é;]uations aux limites (2), ou les conditions qui pourraient les remplacer, seront toujours en nombre 2n. Il y a donc plus d'équations ({ue dinconnues, et le problème est impossible, à moins que des suppositions particulières ne fassent que certaines équations aux limites rentrent dans les autres ou se déduisent des autres.

Supposons, par exemple, qu'en outre des limites x,, a*2, on ait fixé les valeurs extrêmes dey. Les équations (2) en (Pi) disparaissent, et les 2/1 — 2 équations qui restent suffisent à déterminer les 2/i — 2 constantes. Dès lors la fonction j est entièrement connue et l'on peut calculer ses valeurs extrêmes que nous appellerons, pour un instant, Z>,, h^. Il faut donc que les valeurs lixes , qu'on avait assignées d'avance aux valeurs extrêmes de ^', soient précisément Z>i, />, ; autrement les conditions aux limites seraient inrompalibles et le problème n'aurait pas de solution.

03. Jusqu'ici nous avons supposé que V était fonction des seules quantités x, r, y'-ty"-)' • -> T^"^- Si V renfermait en outje les valeurs limites de quelques-unes de ces quantités, l'équation indéfinie (i) aurait encore la même forme, mais les é(|ualions aux limites (2) et (3) subiraient dos modifications (jiie nous allons indiquer en peu de