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et la pr(Mnière dcvienl ld<M»ti(pie. il snflit <lonc alors, pour <[ue les condilions aux limites soient satisfaites, que Técpiation (7) subsiste' 1(^ long du contour limite entier, et fpi'on ail d'ailleurs S ^=-^ o aux cjualie points /A, B. C, I). jNous jious bornons à indiquer ce résultat

MAMMA ET MINIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. l/\n

v.\i laissant au lecteur le soin de le vérifier lui-même. Au lieu de supposer fixes les limites de l'intégrale, on pourrait établir difîerentes relations entre les valeurs limites de X, y, z, p^ q\ en suivant la même marche que dans le cas précédent, il serait toujours facile de trouver les modifications subies dans chaque hypothèse par les équations aux limrles. Mais pour les applications que nous avons en vue, une pareille discussion aurait peu d'utilité et nous l'omettons sans regret.

73. Nous ne pouvons, au contraire, passer sous silence un des points les plus délicats, les plus difficiles que l'on rencontre dans la recherche des maxima et minima des intégrales doubles, et qui rend cette recherche beaucoup moins satisfaisante que celle des maxima et minima des intégrales simples. La difficulté à laquelle nous faisons allusion, vient de l'ignorance où l'on est du degré de généralité que comporte la fonction qui doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles d'un ordre supérieur au premier. D'abord on ne sait pas à priori si une pareille équation admet ou non une équation primitive en termes finis qui ait la même généralité qu'elle; et alors même que l'existence de cette équation équivalente est certaine, on ne sait pas combien de fonctions arbitraires elle doit renfermer : tout ce que l'on peut affirmer en général, c'est que le nombre des fonctions arbitraires contenues dans l'équation primitive, lorsqueîle existe^ est au plus égal à celui qui marque l'ordre dé l'équation proposée aux dérivées partielles. Ajoutons que, quand même on connaîtrait le nombre des fonctions arbitraires renfermées dans l'intégrale la plus générale, on ne saurait pas encore au juste par combien de conditions particulières, ou par combien d'équations aux limites elles pourraient être déterminées.

l48 CALCUL DES VARIATIONS.

Malgré celte imperfeclioii de ïa théorie actuelle des équations aux dérivées partielles, l'analogie et l'examen de cas particuliers nous porte à inférer, comme nous l'avons déjà admis sans preuve, dans ce qui précède, qu'on peut en général assujettir une fonction z de deux variables x^ y, donnée par une équation aux dérivées partielles de Tordre n^ à remplir n conditions par^culièrés, ou à vérifier n équations exprimant chacune explicitement ou implicitement ce que doit devenir la fonction z pour une relation particulière établie entre les variables x^y\ c'està-dire, géométriquement parlant, qu'on peut assujettir une surface dont on connaît seulement Téquation aux dérivées partielles de l'ordre «, à passer par n courbes distinctes, et qu'elle sera alors entièrement déterminée.

On sait, en effet, qu^étant donnée une équation entre X, y^ z et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre n inclusivement, on peut fixer arbitrairement les valeurs que devront prendre pour x = o, ou, en général, pour une relation déterminée f [x^ y) = o entre les variables x, y, la fonction z et une de ses dérivées partielles de chaque ordre jusqu'à celles de l'ordre n — i, les valeurs, par exemple,

dz d^z d'^-'z , 1 . .

de z, -— î -7-^5 " •) , „.,? et que de ces valeurs, jointes a

Téquation proposée, on peut déduire les valeurs correspondantes de toutes les autres dérivées. Par cela même tous les éléments constitutifs de la fonction^, c'està-dire tous les coefficients dont dépendrait son développement en série, supposée convergente, sont complète-' ment déterminés pour la relation particulière

ou le long de la courbe que cette équation représenle, de telle sorte que l'on puisse construire par points, ou de proche en proche, la surface à laquelle appartient l'or-