MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES TRIPLES
donnée z. De ce tliéorème connu il résulte immédiate- ' ment : i** qu'une surface dont Téqualion aux dérivées partielles est du premier ordre, est complètement fixée lorsqu'on l'assujettit à passer par une courbe donnée^ 1^ qu'une surface dont l'équation aux dérivées partielles est du second ordre, peut être construite lorsque, en outre de la courbe qu*elle doit contenir, on donne la position du plan tangent le long de cette courbe, ou, en d'autres termes, lorsqu'elle est assujettie à contenir deux courbes infiniment voisines l'une de l'autre; 3° que la surface qui doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles du troisième ordre, est déterminée, quand, avec la courbe et le plan tangent, on donne la courbure de la sectioji normale à la courbe, c'est-à-dire quand on l'assujettit à passer par trois courbes infiniment voisines, et ainsi de suite.
La proposition que nous avons avancée est donc vraie, lorsque les n courbes données sont infiniment voisines les unes des autres, et tout porte à croire (ju'elle sera encore vraie, lorsque les n courbes seront situées d'une manière quelconque dans l'espace.
7-4. V. On cherclicle niaximuui ou le minimum rF une intégrale triple
j j I VJrr/v.7x,
dans laquelle
a étant une Jonction inconnue de trois variables indépendantes x^ y, r, et /y, z^, /' ses dénï'ées partielles du premier ordre.
]N'ous avons déjà donné, p. 86, la variation de cclto in- Icgralo. Cherchons actuellement les é(|ualions indéiiiii<'s et aux limiles qu'enlraîiie la condition i^énéralo de Jiiaxi-
IDO CALCUL DES VAIUATIONS.
mum ou de minimum, la variation égalée à zéro, lorsque les limites ne sont assujetties à aucune restriction. Le premier terme de la variation fournit l'équation indéfinie
^. clP dQ r/R
qui doit subsister pour toutes les valeurs de x,j, z comprises entre les limites de l'intégrale, ou pour tous les points de l'espace compris entre les six surfaces A,, A,, B,, Bs, Cl, C? (n*' 43) qui limitent le champ de l'intégrale triple.
Les termes cil ou aft'ectés de substitulions donnent le |)reniler svslèmc d'écjualions aux limites
I ,h dz
dx dy
I dx
la jjremière aura lieu pour les deux surfaces courbes Ci,
Cs , la seconde pour les deux cylindres Bi , Ba , et la
tioisième pour les deux plans A,, Aj. Les dérivées par-
, .. dz dz , , -, , . 11 1
liclles — 1 — dans la première équation sont celles de
dx dy ^ *
l'ordonnée z^ ou z^ de la surface courbe Ci ou Cj <{ue
dy Ton cotisidère; l;i dérivée — dans la seconde est relative à
dx
\ \\\\ ou à raulie àv^^ cylindres Bj, Bo.
Un second syslènic (Féquations aux limiles
fydz
fVdzdy
■fef-
MAXIMA ET MIKIMA DES INTÉGRALES TllIPLES. l5l
est fourni par les termes aÛ'eclés des variations ^^j, oz^^ Jy,, ^^2, ^x,, ^Xs, dont les deux premières sont indépendantes de z, les deux suivantes de y, z, les deux dernières de toutes les variables principales j:,j^, z. La pre-^ mière de ces nouvelles équations (3) aura lieu pour tiôlùs les points des deux faces courbes z =^i, z z= z^\ la seconde pour toutes les génératrices des deux faces cylindriques y ^=J\-> y '-^ y-ii l'intégrale y V<is devant être prise le long d'une quelconque de ces génératrices j la troisième équation, enfin, devra être vérifiée pour cliacune des deux faces planes j: = x, , j: = j:j, l'intégrale yy Vu?)' Jx s'étendant à l'aire entière de l'une ou de l'autre de ces dernières faces.
La solution du problème du maximum ou du minimum absolu dépendrait ainsi d'une équation indéfinie et de douze équations aux limites^ mais comme ce problème, par sa nature mcnic, est impossible, nous passons à l'examen des modifications que doivent subir les équations obtenues, en raison de certaines restrictions apportées aux limites de l'intégrale.
75. I** Les limites .r,, x,, j,, js, Zj, z,, de F intégrale sont fixes. — Le système (3) disparaît et les équations aux limites se réduisent au système (2). Pour les ramener à leur plus simple énoncé, considérons un point oc, y^ z de la surface limile Ci ou C,, et désignons par a, |3, y les angles compris entre la normale à la surface et les axes des coordonnées. Si, dans la jiremièrc équation (2), on
remplace les cocllicienls — -, —, — i, par cosa, cosj3,
cosy, qui leur sont pioportionnels, elle prendra la forme symétrique
(4 ) P cos a 4- Q cos p -i- R cos 7 — o ;
sous cette forme elle exprimera que la droite menée pai le
iSa CALCUL DES VARIATIONS.
point X, y^ z et faisant avec les axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels à P, Q, R, doit être tangente à la surface limite. L'équation (4) ne remplace pas seulement la première des équations (i), elle comprend les deux autres comme cas particuliers^ en effet, si Ton suppose : i" cosy = o, ce qui caractérise les deux cylindres B,, B?, elle devient Pcos a -h Q cos |5 = o , ou parce que
ces a dx -h cos ^dy = o^Q — P — = 0, et elle coïncide,
par conséquent, avec la seconde équation (2)^ 2" si Ton suppose à la fois cos (^ = o, cos 7 = 0, ce qui a 1 icu pour les deux plans Aj , As, elle se réduit à P = o ou à la troisième équation (2). Les diverses conditions r(îlalives aux limites sont donc exprimées à la fois par la seule équation (4) étendue aux six surface^ Ai, A,, B,, Bj, C,, Cs ou, plus généralement, à toutes les faces limites, quel que soit leur nombre.
Si l'on fixe, en outre des faces limites, la valeur que u doit prendre sur chacune d'elles, toutes les équations aux limites (2), (3) disparaîtront et seront remplacées par les équations qui assignent à u des valeurs déterminées.
76. 2° On dofuic seulement les valeurs que u doit prendre sur les surfaces limites, ces surfaces pouvant ellesmêmes se déformer d'une manière quelconque. — Soit ï(x^y^ z) la fonction donnée avec laquelle u doit coïncideisur une des surfaces limites, sur celle, par exemple, qui correspond à la limite inférieure de 2:, et désignons par /V, </',
/•'les dérivées ])ai lielles — , —, — de cette lonction, la ^ (Ix dy az
condition
MAXIMA ET MIMIMA DES lATÉGRALES TRIPLES. l53
eiiliaînc , .; .^r' * ^ : ; .^ j .;/ > ' ; ■'\ '
ciperinetd^éliminer cÎm de la somme
-XTn"-(''-4:-'<!|)'"!*
(les termes qui, dans la variation de Tinté^rale, sont all'eetés de la substitution z = Zi-^ ces termes alors fournissent une seule équation
qui doit être vérilîée sur la surface limite que Ton considère, les dérivées partielles —-, -^ étant relatives à cette
dx dj
même surface. Ces dérivées sont d'ailleurs faciles à déterminer; car^ en diflerentiant lour à tour par rapport à x et à r l'équation u = f (x,y, 2), qui est supposée avoir lieu pour la surface limite dont il s'agit, on obtient
dz , , dz
dz , ,dz
el, par suite,
flz
/; — // dz q ~ (/' r — /•' dy f — /•'
substituant, il vient
Telle est dont: 1 équation relative à la limite ^.,. Vue équation loulc pareille aurait lieu pom la seconde limite r^^-
l54 CALCUL DES VAUIATlOiVS.
si pour cette limite la fonction u était assujettie à une restriction semblable.
Supposons à présent que u doive devenir égale à r{.r, y, z), non plus sur une des surfaces courbes z = Zi^ z = Zg, mais sur la surface cylindrique j'^=z: y,, de sorte (jue Ton ait .
/ S«— ffo--, r,c.)j — o,
cl, par suite,
u -r- i<j — ^y')^v,| = o; on pourra éliminer ou des ternies
(lz(i:>
de la variation de l'inlégralequi sont alïeclés de la substitution y =:)^,. Ces termes alors donneront une scul( équation aux limites
rx>--('-'£)"-
q')\ rlz = o.
Pour déterminer la déiivée -f-5 qui est relative à Tin-
terseclion du cylindre 15, avec le plan xy, il suUit de comparer les dilTérentielles totales de // et de f (x, y, z ) pour cette même intersection. On trouve ainsi
(Iy p — p'
pd.T. -f- (idr ■=■ p'dx -I- n'dr, - — = -, ->
^ ' ' ' ^ ' (ix (j — q'
valeur ([ui ramène l'écjuation aux limites à la forme (6) / j V - P [p - // ^ - Q ( V - v' ) î '^-^ --- o,
Tinlégialc dans Vi prcml<M mej)d)rc étant j)ris<' 1(^ loni;
MAXIMA ET MINIMA DES I^TÉGRALES TllIPLES. l55
d'une génératrice quelconque du cylindre B, . La condition de coïncidence de u avec la fonction f (a:,j^, z) sur la seconde surface cylindrique y =j^î conduirait à une équation toute semblaLle à l'équation (6).
Enfin, si cette coïncidence devait avoir lieu sur une des faces planes, sur celle par exemple qui correspond à la limite inférieure de a:, de sorte qu'on eût
et, p.ar conséquent.
on éliminerait gz^ des termes
afl'ectés de la substitution x = Xj ^ et, après avoii- fait sortir des signes ///la variation c;,r,, qui est indépendante de toutes les variables principabîs, on égalerait son coeflicient à zéro, ce qui donnerait
(7) SJ\N~V(p-p')\dzdy = o,
l'intégrale double s'étendant à la face plane entière A,. La coïncidence sur la suiface plane correspondante à Xc, fournirait une équation toute semblable.
77, La restriction (juc u doit coïncider, aux limites de l'intégrale, avec une fonction donnée f (x, y^ -z), entraîne, connue on vient de le voir, des équations de forme didérente (5), (6*), (^) pour les trois couples de surfaces C,, Ci, Bj, B^, A,, A^. La raison en est que les quatre^ dernières se Irouvenl eflrclivenKiil dans des condi lions plus leslreinles que îcs deux premières, jniis(pie les
l56 CALCUL DES VAKIATIOKS.
surfaces Bj et Bj sont assujetties à être cylindriques et perpendiculaires au plan xj, et que les surfaces A,, A» doivent être planes à la fois et normales à l'axe des x. Pour généraliser ce genre de conditions particulières, admettons qu'une surface limite quelconque, celle, par exemple, qui correspond à la limite inférieure de z, doive être un cylindre dont la génératrice fasse avec les axes des coordonnées des angles déterminés ayant pour cosinus «, Z>, c, et que l'on exige, en outre, que u coïncide avec la fonction connue ((x. y, z) pour tous les points de ce cylindre; on aura à la fois
u — f .r, r , s; î — o, a—--^b-—=c, ^ > (ix dy
et, en prenant les variations,
6ii-\-(r — rMàz,>=:o, a — ; \- h — ; — =: o.
' dx dy
Intégrée, la seconde équation aux dérivé<;s partielles du premier ordre donne
(]p étant une forme de fonction arbitraire. On ])ourra donc élimine!' à la fois On et os, des termes alTectés de la substitution :; = s,. Si l'on < lii, pour abréger,
Wr=V-P(/>-//)-Q(7-7')-R (/•-/•'),
ces ternies deviendront r'
— I I / W(p(rtr — hx^.dydx.
lOMC-
(Ictte expression doit s'évanouir quelle que soit la ic lion arbitraire cp- mais comme © renferme les Aqxw variables .r. } dans la (Y)nil)inaison particulière (ly — /'.<",
MAXIMA ET MIKiMA. DES INTÉGRALES THIPLES. iSy
iioas somines obligé, pour oblenir l'équalion de condition définitive, de ramener c^ à ne plus porter que sur une seule variable. Dans ce but, faisons tourner le système des coordonnées autour de l'axe des z jusqu'à ce que Taxe des x devienne perpendiculaire à la génératrice du cylindre limite que l'on considère, et appelons J, y/, z les coordonnées du nouveau système, liées aux anciennes par les équations
or — h.r ' nx -h hy
(p {^ay — hx^ devenue fonction ar])itraire de la seule variable \ sortira du signe d'inlégralion relatif à r>, et son coefficient égalé à 'zéro fournira l'équation
/Wr/>5=:0.
Or, la génératrice du cylindre se projetant sur le plan x\ suivant la nouvelle ordonnée 75, dri sera dans un rappoil constant avec la dinérentielle dl de la génératrice j on pourra donc remplacer dn par ///et écrire
l'intégrale fW'dl étant prise le long d'une génératrice quelconque du cylindre limite^ telle est donc l'équation de condition cliercliée.
Si la surface limite 2 = 2, devait être un plan dont on
connût la direction ou lt!s dérivées partielles ~-y — '--, la
f/x dy
variation de z, serait assujellie aux (1<mix coiidi lions
<lx ' dy '
et se réduirait, par conséquent, à une constante arl)ilrait<'
l58 CALCLL DES VAl\lATIO]VS.
Supposons, en outre, que la reslriclion u = ( (x^ j\ z (lût subsister pour cette même surface, ou qu'on eût
et, p
ar suite
(r— r')(îr.,| - o.
Les termes de la variation de l'intégrale affectés de la substitution z = z^ deviendraient, par 1 élimination dc^/^ et
de uz,^
et conduiraient à l'équation
/■/''\Vr/)Y/.tr=0,
dans laquelle l'iniégrale double devrait s'élcndieà la projection eulière du plan limite sur le plau xj . D'ailleurs, comme la différentielle /5? A du plan limite est dans un rapport constant avec la différentielle dxdy de sa projection sur le plan .rj, l'équation précédente peut s'écrire plus simplement
l'intégrale JV^dK devant s'étendre au plan limite entier que l'on considère.
78. Résumons en peu de mots les résultats auxquels nous sommes arrivés. Klant donnée, avec sesdéiivées partielles/?', 7'. /'', une fonction ^ (x^ y^ z) avec laquelle la fonction cherchée // doit se confondre sur une des surfaces limites, sans (pie cette surface limite soit d'ailleurs assujettie à aucune rcsîriclion. on doit avoir pour chaque point de la surface
(8) W z= V - P (/; - />' ; - Q (r/ - 7' ) — Il (/■ — /•') = u.
MAXIMA ET MIJNIMA DES INTÉGRALES TRIPLES. 1 5q
M;ns si l'on demande, en outre, que la surface limite soit Il II cylindre engendré par une droite de direction donnée, l'équation de condition se changera en
(9) fWdl=.o,
Tintégrale fWdl étant prise le long d'une génératrice quelconque /.Enfin, si la surface limite devait être un plan parallèle à un plan. donné, il suffirait qu'on eût
(10) fWdA — o,
l'intégrale fWdA s'étendanl à l'aire totale A du plan limite.
79. Quelles que soient les restrictions auxquelles on assujettise les limites de l'intégrale^yy V^^/:;^Jjf: ou les valeurs limites de la fonction «, l'équation indéfinie (i) reste toujours la même. C'est une équation aux dérivées partielles du second ordre. Quoiqu'on ne sache pas à priori si elle admet ou non une équation primitive en termes finis, ni quelle est la nature de cette équation lorsqu'elle existe, on est porté à admettre que la fonction il, qui y satisfait de la manière la plus générale, sera complètement déterminée, lorsqu'on l'aura assujettie à vérifier deux conditions particulières, du genre de celles que fournissent les équations aux limites. Or, dans les deux hypothèses que nous venons d'examiner, le nombre elfectif des équations aux limites est égal à celui des faces différentes du solide qui constitue le champ de l'intégrale triple; il faudra donc, ou que ces faces puissent se réduire à deux, ou que plusieurs équations aux limites de^'iennent identiques, sans' quoi le problème. de maximum ou de minimum n'aura pas de solution.
l6o CALCUL DES VARL4TI01NS.
