HUITIÈME LEÇON

Méthode de Jacobi pour distinguer les maxima et les minima des intégrales simples. — Application de cette méthode à quelques cas particuliers.

80. Lorsque les fonctions inconnues dont dépend une intégrale ou une expression définie S ont été déterminées de manière à rendre nulle la variation première ^S, et qu'on les fait varier très-peu avec un paramètre z, c'est-àdire en donnant à ce paramètre un accroissement trèspetit, l'expression S subit elle-même un changement, dont le sens dépend uniquement du signe que prend la variation. seconde è^S : lorsque cette variation seconde est positive, la valeur de S augmente^ lorsqu'elle est négative, la valeur de S diminue. Il en résulte que l'expression S, dans laquelle on aura déterminé les fonctions inconnues, comme nous venons de le dire, sera un maximum si la variation seconde ^^S reste toujours négative, un minimum si elle reste toujours positive, quelques déformations qu'on fasse subir aux fonctions dont il s'agit. Mais si la variation seconde (^^S peut changer de signe, si elle est positive pour certaines déformations et négative pour d'autres, l'expression S pouvant tantôt diminuer, tantôt croître, ne sera ni un maximum ni un minimuiïi.

Ainsi, pour distinguer anàlytiquement le maximum du minimum, on aura à discuter la variation seconde (5'^ S. Mais cette discussion, facile en principe, est dans la pratique hérissée de grandes difficultés, qu'on n'a pu vaincre jusqu'ici que dans les cas les plus simples. En effet, tout

DISTINCTION DES MAXIMA ET MIJVIMA. i6l

ce qu'on a pu obtenir dans cette voie est à peu près compris dans la méthode donnée par Jacobi pour distinguer les maxima et les minima des intégrales simples : c'est cette méthode que nous allons exposer d'une manière aussi élémentaire que le comporte le sujet, en mettant à profit les commentaires dont elle a été l'objet de la part d'autres géomètres.