Considérons l'intégrale simple

dans laquelle V est une l'onction donnée de x, y, y\ j"^ . . . , y^"'. La recherche du maximum ou du minimum de celte intégrale se partage en deux parties : dans la première on peut supposer les valeurs limites de x, 7 , j ', j" ^...^ y^"~^^ fixes, mais quelconques, et chercher la relation entre j' et x qui rende l'intégrale maximum ou minimum, relation qui renfermera en général Q.n constantes arbitraires; dans la seconde on fait varier les valeurs limites de X, j, y',j^'^, . . ., |'"~*' autant que le permettent les conditions du problème, et l'on cherche les valeurs des 2/1 constantes arbitraires pour lesquelles l'intégrale soit plus grande ou plus peliie que pour toutes les autres valeurs, très-peu difierenles de celles-là, qu'on pourrait donner à ces mêmes constantes. Cette seconde partie de la question rentrant entièrement dans la recherche propre au calcul difiércntiel des maxima et des minima des fonctions de plusieurs variables indépendantes, nous n'avons pas à nous en occuper ici -, il nous suffira, en conséquence, de chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale S dans l'hypollièse où les valeurs de a:, y, j'^. . ., y("~^ relatives aux deux limites restent invariables.

Dans celle hypolhèso, si l'on appelle P, Pj, P25 • • , P„ IV. I 1

l62 CALCUL DES VARIATIONS.

les dérivées partielles de V relatives hy, y' •>j" -, ■ • • yy-"\ et qu'on fasse, pour abréger,

la variation de l'intégrale du premier ordre sera et celle du second ordre

La première condition du maximum ou du minimum, JS=:o, conduit à une équation diflerentielle de Tordre q//

à laquelle on satisfera de la manière la plus générale par une certaine relation

entre y, a: et 2/1 constantes arbitraires. Puisque (P) est ^lul, la variation seconde se réduit à

(3) ^^Sr=. / ^[V)^y.dx,

et il s'agit d'examiner si elle peut, ou non, changer de signe.

82. L'existence du maximum ou du minimum exigeant que la variation seconde de l'intégrale ne puisse changer de signe, et, par conséquent, qu'elle ne puisse être nulle en même temps que la variation première, on voit d'abord qu'il n'y aurail ni maximum ni minimum si, dans

DlàTiKCTION DES MAXIMA ET MINIMA. i63

les conditions du problème, oy pouvait recevoir une valeur autre que zéro, qui rendît ^(P) nul identiquement, ou pour toutes les valeurs de x. Or pour faire varier v sans que (P) varie, c'est-à-dire sans que l'équation (P) =o cesse d'avoir lieu, il n'est qu'un seul moyen : c'est d'altérer les constantes ûi, a^, . . . , contenues dans l'intégrale de l'équation différentielle (P) =o. Cela est évident 5 car puisque cette intégrale est la valeur la plus générale dejqui vériGe l'équation (P) = 0, aucune autre valeur de j ne pourrait y satisfaire que pour des valeurs particulières de X, Ainsi la seule forme de ^y qui puisse rendre c^(P) constamment nul, est

^J/ = T- ^ '^i + T- ^"■'- -J- • • • H- -7— Oa.,„. da^ an 2 dn-i,,

ou l)ien

fin, (ia, fla^„

en désignant par orj , aj , . . . . «,„ les variations Oû,, J^sj • • • , ^«2,0 ^iiî sont de nouvelles constantes arbitraires. Telle est donc l'intégrale ou la solution la plus générale de l'équation dilïérentiellc 0 (P) =0. Elle renferme '2n constanles arbitraires, ainsi que cela doit être 5 car il est facile de voir que le développement de c^(P) renferme ^j avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre 'iti inclusivement.

L'existence du maximum ou du minimum exige donc avant tout que ^y ne puisse pas avoir la forme (4). Or comme nous supposons fixes les valeurs limites de x, v, j'-fj"-, ' ' • , j^"~*-, sans (pie la déformation de j soit assujettie à d'autres restrictions, oy peut ê(re une fonction quelconque de x, pourvu qu'elle s'évanouisse, avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre ii — i , aux deux limites de l'intégrale., On en conclura que, si les constantes a, .

l64 CALCUL DES VAlllATIOKS.

«2, . . . dans la formule (4) peuvent être déterminées de manière à vérifier les conditions

aux deux limites de l'intégrale, la solution (2) ne donnera ni maximum ni minimum.

83. La restriction imposée à oy, afin que la variation seconde è^S ne s'évanouisse pas, est susceptible d'une interprétation géométrique très-remarquable. Si l'on regarde X elj comme les coordonnées reclilignesd'un point, l'équation y z=z f [x, a^^ n^. . . . , a^„) représente une courbe plane qui se déforme d'une manière continue, quand on fait varier les constantes rz, , a,, . . . , avec un paramètre commun y,. Donnons à ce paramètre un accroissement { et désignons, comme nous l'avons fait, par oy, ^'7.- • •- les dérivées successives dey relatives à x, nous aurons une nouvelle courbe du même genre que la première, mais dans laquelle à l'abscisse x correspondra l'ordonnée

T -4- ;i > in T -i- i.(jV -\ O-'r -h . . . .

Pour que cette courbe })asse par un point donné A de la première courbe, il faut (|u'en ce point on ait Ay = o,

ou, en divisant par t,

oy H (î'r -^ . . . =r <-).

Pareillement la dérivée j' sera la même poui- les deiix courbes, ou les deux courbes auront un contact du premier ordre au point dont il s'agit, si Ton a en outre en ce point

oy i n'y -i- . . .rrz o.

DISTUNCTION DES MAXIMA ET MIKIMA, 1 65

Le contact des deux courbes sera du second ordre, si la nouvelle condition

est remplie avec les deux précédentes, et ainsi de suite. Or, lorsque i tend vers zéro, la seconde courbe s'approclie indéfiniment de la première ^ pour t =1: o les deux courbes coïncident et les équations précédentes deviennent

OJ^O, 0,= — ^o, ^y =.-^r^0,....

Donc, si la variation oj et ses // — i dérivées successives s'évanouissent en même temps au point A, ce point sera la limite de Tinterseciion de la courbe donnée et d'une autre courbe du même genre ayant avec la première un contact de l'ordre /i — i, et tendant indéfiniment à se confondre avec elle.

Ces considérations permettent de formuler de la manière suivante le résultat obtenu n" 82 : Ayant trouvé une courbe AB qui satisfait à la condition ^S = o, pour reconnaître si elle correspond réellement à un maximum ou minimum de l'intégrale S, on fera varier les constantes contenues dans son équation^ et l'on cherchera s'il est possible de déterminer par ce moyen une courbe de même nature passant par deux points donnés de la première courbe et ayant avec elle en ces points un contact de l'ordre n — i^ ensuite on rendra ces points mobiles sur la première courbe et on les fera approcher simultanément des points extrêmes A', B correspondants aux limites de l'intégrale -, cela posé, s'il arrive qu'en même temps la seconde courbe s'a]>proche indéfiniment de la première, de sorte que les deux courbes coïncident lorsque leurs points <onimuns sont en A et B, la solution qu'on <'\amine n<*

donnera ni un maximum ni un minimum de l'intégrale proposée. Il en sera de même, évidemment, si le contact de Tordre n — i des deux courbes infiniment voisines peut avoir lieu en deux points C, D, situés entre A et B sur la premièie courbe, puisque l'intégrale, n'ayant ni maximum ni minimum entre C et D, ne saurait en avoir dans toute son étendue.

Au lieu de faire varier les deux points de contact, on peut évidemment fixer le premier point en A et faire mouvoir le second sur la courbe donnée, jusqu'à ce que la seconde courbe coïncide avec elle-, on trouvera ainsi la limite jusqu'à laquelle ou au delà de laquelle l'intégration ne <loit pas s'étendre, pour (|ue le maximum ou le minimum ne cesse pas d'avoir lieu.