D'après cela, la [)remièie chose à examiner est si

la forme (4) de la variation ^y est compatible ou non

avec les conditions admises, c'est-à-dire si dans Téqua-

lion

, <if ^ <if ^ ^ ^\f

(Ui^ da^ ddi,,

on peut trouver pour les constantes «j, «j , . . . des valeurs didérentes de zéro, au moins pour quelques-unes d'entre elles, et telles que 0/ avec toutes ses dérivées successives jusqu'à l'ordre // — i s'évanouisse aux deux limites de l'intégrale, ou seulement pour deux valeurs distinctes de X comprises entre ces limites. Si cela est possible, la dis^ cussion est lerminécî et l'on n'a pas besoin d'aller plus loin, car on sait (ju'alors il n'y a "i maximum ni minimum; mais si l'on parvient à reconnaître, au contraire, (lue ^y ne peut pas avoir la forme ci-dessus , il faudra examiner le signe de la variation seconde ^)^S pour dautres formes admissibles de ^y. Pour cela, on sera obliii<^ de faiic subir à la vaiialion seconde '5' S di\ erses

DISTIKCTION DES MAXIMA ET MIWIMA. 167

lianformations ayant. pour but d'introduire sous le signe intégral un carré parfait multiplié par un facteur connu. Ces transformations reposent sur certaines propriétés d'une classe particulière d'équations différentielles linéaires, propriétés que nous ferons connaître dans les numéros suivants.

. 85. Soit c^ une fonction homogène entière et du second degré de 2, ^', z'\. . ., ^("^, z étant une fÉnction quelconque de \r et z\ z"^. . . ses dérivées successives 5 désignons par (j)' ( z) , y (2'), . . . , ^' (2^") ) les dérivées partielles de 9 relatives à z, 2', • - • 5 ^^"^ "^^s disons que l'expression

(5) ^i^^^^^^-iiis^ ^til^-.:.^^:!^,

fonction linéaire de z^ z\ z" ^ . . . , z^*"^, peut se mettre sous

la forme

.^. , d.k.z' ; dKk.z" ,d<.h,z:-)

^^^ ^'-^^^-^-dJ^-'-'^-^ï^^

A, Al, Ag, . . . , A„ ne renfermant que la variable x. Remarquons d'abord que si l'on fait, pour abréger,

dW ' , '

a,,,T-a,r né renfermant plus ni z ni ses dérivées, la fonction cp aura nécessairement la forme

-a^^i'zz -f- . a^iZZ H- ao-^zz'^ 4-. . .-|- «o/i^z^"-

l68 CALCUL DES VARIATIONS.

ses dérivées partielles seront donc

,^'(z") =o,oz-h «3,z'4-âr„z"H- . .-h Aj^zC),

^^(zC)) ~ «„oZ +/?«.z' -+- /7„2 3" 4- . . . H- ^„„zf").

DifTérenlions ces équations par rapport à :r, la seconde une fois, la troisième deux fois, etc., et ajoutons-les après avoir changé le signe de la seconde, de la quatrième, etc., équation, nous trouverons la fonction ^(z) exprimée par une suite de termes dont les suivants

ont déjà la forrne voulue (6). Les autres se groupent deux à deux en binômes de la forme

dont chacun peut encore être ramené à la forme (6). En effet, soit p^ q^ p — q =z v^ désignons par A, /, k trois nombres entiers positifs tels que h-\-i-{-k=p-i-q^ et h^k] écrivons pour simplifier a au lieu de«p^, et posons

en prenant chaque fois le signe supérieur ou inférieur' suivant que /i — k est pair ou impair^ le binôme qu'il s'agit de transformer sera

Or il est facile de s'assurer qu'un binôme quelconque de la forme [/z. A] se décompose en deux autres de ]a même