DISTIIVCTIOIV DES MAXIMA ET MINIMA

forme, et qu'on a généralement

[h, ^]z=[h~-i, k]-h[h-i, A- -\- i]; on aura donc aussi

On pourra décomposer de nouveau chaque terme du second membre en deux autres, et en continuimt ainsi, on parviendra nécessairement à exprimer [p, q] par une suite de termes qui rentrent dans l'une ou dans l'autre des formes

Mais, en vertu des notations admises, on a

dx'"

■ \. djf

Ainsi les termes dont se composera définitivement [p, </] et par suite le binôme Zp^ auront tous la forme requise. On peut ajouter que l'indice du premier terme sera ^, et

celui du dernier ternie ou j suivant que

^ 4- ^ est pair ou impair.

86. Nous pourrions nous contenter de ces indications générales, qui .prouvent déjà suflSsamment la possibilité d'effectuer la transformation dont il s'agit^ mais comme la marche que nous venons de signaler conduit très-facilement au développement définitif de [/?, q~\^ nous ne laisserons pas de la suivre jusqu'au bout.

On trouve d'abord successivement

[/^ — 2, 9r]=[/?-3,ç]-h[/?— 3, 94-1], [^■4-2, y] = [ç-h I,gr] + [ç-^I, ^4- l];

011 a d'ailleurs, en vertu des relations (8) , substituant, il viendra donc

-+- [^4-2, Çr H i]4...4[^i,^4 l],

[pyq]=-{q,q]^[q + ^^q-^^] + ^K, .'

si l'on fait j pour abréger,

R.=:[^4-2, (7-+- i]-h[<7 4-3, 7-hi] + . . . + [^—1, ^ + 1].

Les différents termes de cette dernière équation, développés de la même manière en série de la forme (9), donnent successivement

[y—i, 7+0— -[7+ïj 7+i] + [7 + 2, 7 + 2]