I DISTINCTION DES MAXIMA ET MINIMA

Eu ajoutant ces équations en nombre p — </ — 2 = r — 2, on trouve

OÙ

Chaque terme de cette nouvelle série peut se développer de la même manière, et ainsi de suite. Si l'on appelle Hp le coeflicient du ternie qui en a p avant lui dans le développement de la /z'""'" puissance du binôme, en sorte que

fio = n,^ = I , /z, = «„, = // , ïi. = «„•. = ")'"•>

n [h — \\ [n — 1] . . An — 0 -f- 1 ) ^ ^ 1 . 2 . 3 . . . p

si, de j)lus, on se rappelle la relation facile à vérifier

np-\-np^,— [n->t-i)p^,,

fjui donne Tune après l'autre les égalités

«,. -h (//-+-■ i), -h(// H- 2), -h. . . +(«-f-p)p= [n 4-r>-|- i)^, ! ou, en d'autres ternies,

172 CALCUL DES VARIÀTIOKS.

on trouvera successivement

-Hl/-— 5), [^-4-4, 7-h3j -!-(/•- 6). [7-4-5, 7-f-3] -h. . .-h2,[/^ — 3, 7 -h 3]

= ^('--3),[7-+-2,7 + 2]H-{^-4)47^-3,7-+-3]4-R3, R -i(^4)3[^ + 3, ry + 3]-+-(r-5)3[7 + 4, v + 4]

de. On poursuivra ces développements jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les termes, c'est-à-dire jus(|u'«à ce qu'on arrive à une expression qui n'ait plus besoin d'être transformée. Celte expression sera, dans le cas où r est un nombre impair :

dans le cas où r est un nombre pair :

Si l'on substitue les valeurs de Rj, Rj, . . . , | /^, 7 ] scmm exprimé par une série dont les termes successifsrenfernioront [<7, </], [<7+ I, <7-f- i], [7-4-2, 74-2],. . ., multipliés respectivement par l(!s coefficients